Campo finito

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In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.

I campi finiti sono completamente classificati.

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

I campi finiti sono classificati nel modo seguente:

Quindi, a meno di isomorfismi, esiste un solo campo con p^n elementi; questo viene solitamente indicato con \mathbb{F}_{p^n} o con \mathrm{GF}(p^n), da campo di Galois (Galois Field).[1]

Ad esempio, esiste un campo finito \mathbb{F}_8=\mathbb{F}_{2^3} con 8 elementi, mentre non ne esiste nessuno con 6 elementi, perché 6 non è la potenza di un numero primo.

Il campo finito presenta una struttura differente a seconda che n sia 1, e quindi il campo abbia precisamente p elementi, o che n sia maggiore di 1.[1]

Fpn, per n=1[modifica | modifica wikitesto]

Quando il campo finito ha esattamente p elementi (n=1) le sue operazioni vengono definite tramite l'aritmetica modulare modulo p.[2]

Quindi \mathbb{F}_{p} è il campo delle classi di resto modulo p, ed è anche indicato con \Z/p\Z.

Il gruppo soggiacente in questo caso è un gruppo ciclico di ordine p.

Fpn, per n>1[modifica | modifica wikitesto]

Quando n>1, invece, l'aritmetica modulare modulo p non produce un campo poiché \mathbb{F}_{p^n} non è isomorfo all'anello delle classi di resto \Z/p^n\Z: quest'ultimo infatti è solo un anello, e non un campo.

Il gruppo additivo soggiacente \mathbb{F}_{p^n} infatti non è ciclico, bensì isomorfo a

 \begin{matrix} \underbrace{\Z/p\Z\times\cdots\times \Z/p\Z} \\ n \end{matrix}

Le operazioni del campo sono quindi definite tramite aritmetica polinomiale[2] e ogni elemento del campo viene visto come un polinomio i cui coefficienti appartengono a \Z/p\Z e il cui grado massimo è pari a n-1. Le operazioni sono svolte seguendo due accorgimenti: l'aritmetica sui coefficienti è un'aritmetica modulare modulo p e al termine di ogni operazione il polinomio risultante viene diviso per un polinomio irriducibile di grado n e ne viene preso il resto (assicurando così che questo abbia ancora grado al più n-1).[3]

Costruzione di Fpn[modifica | modifica wikitesto]

Il campo \mathbb{F}_{q}, con q=p^n, è costruito come il campo di spezzamento del polinomio

 p(x) = x^{p^n} - x,

definito sul campo \Z/p\Z.

Infatti il campo di spezzamento è generato da alcuni elementi r_1,\ldots,r_q che spezzano il polinomio in

 p(x) = (x-r_1)\dots (x-r_q).

Le radici r_i sono distinte perché il polinomio p non ha radici multiple, in virtù del fatto che la sua derivata formale

qx^{q-1} - 1 \equiv -1 \mod p,

non è mai nulla. Infine, le radici r_1, \ldots, r_q formano esse stesse un campo, della cardinalità desiderata, che quindi coincide con il campo di spezzamento.

Dimostrazione della classificazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione procede nel modo seguente. Sia K un campo finito.

  1. Poiché finito, ha caratteristica non nulla. Poiché è un dominio d'integrità, la caratteristica è un numero primo p.
  2. L'elemento 1 genera (additivamente) un sottocampo con p elementi, isomorfo quindi a \Z/p\Z. Quindi K è uno spazio vettoriale su questo sottocampo \mathbb{F}_p.
  3. Poiché K è finito, è uno spazio vettoriale su \mathbb{F}_p di dimensione finita n. Quindi contiene p^n elementi.
  4. L'unicità del campo a meno di isomorfismi segue dall'unicità del campo di spezzamento.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Caratteristica[modifica | modifica wikitesto]

Il campo \mathbb{F}_{p^n}, essendo un anello, possiede una caratteristica che vale p.

Automorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Se F è un campo con q=p^n elementi, allora

x^q = x,

per ogni  x in F. Inoltre la mappa

f\colon F \to F
f(x) = x^p,

è un isomorfismo (e quindi un automorfismo), chiamato automorfismo di Frobenius, in nome del matematico Ferdinand Georg Frobenius. L'automorfismo ha ordine n.

Sottocampi[modifica | modifica wikitesto]

Il campo \mathbb{F}_{p^n} contiene una copia di \mathbb{F}_{p^m} se e solo se m divide n.

I campi finiti più piccoli[modifica | modifica wikitesto]

Descriviamo le operazioni di somma e prodotto nei campi finiti di ordine 2, 3 e 4.

\mathbb{F}_{2}:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

\mathbb{F}_{3}:

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

\mathbb{F}_{4}:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

Numero di polinomi irriducibili di un dato grado su un campo finito[modifica | modifica wikitesto]

Il numero N(q,n) di polinomi monici irriducibili di grado n su \mathbb{F}_{q} è dato da[4]

N(q,n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n} \mu(d)q^{\frac{n}{d}},

dove \mu è la funzione di Möbius.

Dalla precedente formula segue che il numero di polinomi irriducibili (non necessariamente monici) di grado n su \mathbb{F}_{q} è (q-1)N(q,n).

I campi finiti nella crittografia[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Advanced Encryption Standard e Crittografia ellittica.

Per le loro proprietà i campi finiti svolgono un importante ruolo in diversi algoritmi crittografici tra cui l'AES e la crittografia ellittica.[2]

Particolarmente utilizzati sono i campi della forma \mathbb{F}_{2^n} poiché presentano diversi vantaggi:

  • permettono di rappresentare univocamente ogni polinomio del campo in n bit: infatti ogni coefficiente del polinomio assumerà proprio i valori binari 0 o 1;[5]
  • la somma tra i polinomi può essere eseguita efficientemente come semplice XOR bit-a-bit;[6]
  • la moltiplicazione per piccoli coefficienti (1, 2 o 3) richiede al massimo uno shift a sinistra e uno XOR.[7]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Stallings 2006, pag.113
  2. ^ a b c Stallings 2006, pag.101
  3. ^ Stallings 2006, pagg.116 e 124
  4. ^ Jacobson 2009, §4.13
  5. ^ Stallings 2006, pag.127
  6. ^ Stallings 2006, pag.128
  7. ^ Stallings 2006, pagg.128 e 157

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • William Stallings, Capitolo 4 - I campi finiti in Crittografia e sicurezza delle reti, ed. italiana a cura di Luca Salgarelli, 2ª edizione, Milano, McGraw-Hill, ottobre 2006, pp. 101-136., ISBN 88-386-6377-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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