Campo finito

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In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.

I campi finiti sono completamente classificati.

Classificazione[modifica | modifica sorgente]

I campi finiti sono classificati nel modo seguente:

  • Ogni campo finito ha pn elementi, per qualche numero primo p e qualche numero naturale n ≥ 1.
  • Per ogni numero primo p e naturale n ≥ 1, esiste un solo campo finito con pn elementi, a meno di isomorfismo.

Quindi, a meno di isomorfismi, esiste un solo campo con pn elementi; questo viene solitamente indicato con Fpn o con GF(pn), da campo di Galois (Galois Field).[1]

Ad esempio, esiste un campo finito F8 = F23 con 8 elementi, mentre non ne esiste nessuno con 6 elementi, perché 6 non è la potenza di un numero primo.

Il campo finito presenta una struttura differente a seconda che n sia 1, e quindi il campo abbia precisamente p elementi, o che n sia maggiore di 1.[1]

Fpn, per n=1[modifica | modifica sorgente]

Quando il campo finito ha esattamente p elementi (n=1) le sue operazioni vengono definite tramite l'aritmetica modulare modulo p.[2]

Quindi Fp è il campo delle classi di resto modulo p, indicato normalmente con Z/pZ.

Il gruppo soggiacente in questo caso è un gruppo ciclico di ordine p.

Fpn, per n>1[modifica | modifica sorgente]

Quando n>1, invece, l'aritmetica modulare modulo p non produce un campo poiché Fpn non è isomorfo all'anello delle classi di resto Z/pnZ: quest'ultimo infatti è solo un anello, e non un campo.

Il gruppo additivo soggiacente Fpn infatti non è ciclico, bensì isomorfo a

 \begin{matrix} \underbrace{\mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}}\times\cdots\times \mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}}} \\ n \end{matrix}

Le operazioni del campo sono quindi definite tramite aritmetica polinomiale[2] e ogni elemento del campo viene visto come un polinomio i cui coefficienti appartengono a Zp e il cui grado massimo è pari a n-1. Le operazioni sono svolte seguendo due accorgimenti: l'aritmetica sui coefficienti è un'aritmetica modulare modulo p e al termine di ogni operazione il polinomio risultante viene diviso per un polinomio irriducibile di grado n e ne viene preso il resto (assicurando così che questo abbia ancora grado al più n-1).[3]

Costruzione di Fpn[modifica | modifica sorgente]

Il campo Fpn è costruito come il campo di spezzamento del polinomio

 p(x) = x^{p^n} - x

definito sul campo Z/pZ.

Infatti il campo di spezzamento è generato da alcuni elementi  r_1,\ldots,r_q che spezzano il polinomio in

 p(x) = (x-r_1)\dots (x-r_q).

Le radici  r_i sono distinte perché il polinomio p non ha radici multiple, in virtù del fatto che la sua derivata formale

 qx^{q-1} - 1 \equiv -1 \mod p

non è mai nulla. Infine, le radici  r_1, \ldots, r_q formano esse stesse un campo, della cardinalità desiderata, che quindi coincide con il campo di spezzamento.

Dimostrazione della classificazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione procede nel modo seguente. Sia K un campo finito.

  1. Poiché finito, ha caratteristica non nulla. Poiché è un dominio d'integrità, la caratteristica è un numero primo p.
  2. L'elemento 1 genera (additivamente) un sottocampo con p elementi, isomorfo quindi a Z/pZ. Quindi K è uno spazio vettoriale su questo sottocampo.
  3. Poiché K è finito, è uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Quindi contiene pn elementi.
  4. L'unicità del campo a meno di isomorfismi segue dall'unicità del campo di spezzamento.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Caratteristica[modifica | modifica sorgente]

Il campo Fpn, essendo un anello, possiede una caratteristica che vale p.

Automorfismi[modifica | modifica sorgente]

Se F è un campo con q = pn elementi, allora

 x^q = x

per ogni  x in F. Inoltre la mappa

 f: F \to F
 f(x) = x^p

è un isomorfismo (e quindi un automorfismo), chiamato automorfismo di Frobenius, in nome del matematico Ferdinand Georg Frobenius. L'automorfismo ha ordine n.

Sottocampi[modifica | modifica sorgente]

Il campo Fpn contiene una copia di Fpm se e solo se m divide n.

I campi finiti più piccoli[modifica | modifica sorgente]

Descriviamo le operazioni di somma e prodotto nei campi finiti di ordine 2, 3 e 4.

F2:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

F3:

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

F4:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

I campi finiti nella crittografia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Advanced Encryption Standard e Crittografia ellittica.

Per le loro proprietà i campi finiti svolgono un importante ruolo in diversi algoritmi crittografici tra cui l'AES e la crittografia ellittica.[2]

Particolarmente utilizzati sono i campi della forma F2n poiché presentano diversi vantaggi:

  • permettono di rappresentare univocamente ogni polinomio del campo in n bit: infatti ogni coefficiente del polinomio assumerà proprio i valori binari 0 o 1;[4]
  • la somma tra i polinomi può essere eseguita efficientemente come semplice XOR bit-a-bit;[5]
  • la moltiplicazione per piccoli coefficienti (1, 2 o 3) richiede al massimo uno shift a sinistra e uno XOR.[6]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Stallings 2006, pag.113
  2. ^ a b c Stallings 2006, pag.101
  3. ^ Stallings 2006, pagg.116 e 124
  4. ^ Stallings 2006, pag.127
  5. ^ Stallings 2006, pag.128
  6. ^ Stallings 2006, pagg.128 e 157

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • William Stallings, Capitolo 4 - I campi finiti in Crittografia e sicurezza delle reti, ed. italiana a cura di Luca Salgarelli, 2ª edizione, Milano, McGraw-Hill, ottobre 2006, Pagg. 101-136.. ISBN 88-386-6377-7.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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