Teoria delle categorie

La Teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

Definizione

Una categoria C consiste di:

• una classe Ob(C) i cui elementi sono chiamati oggetti
• una classe Mor(C) i cui elementi sono chiamati morfismi o mappe. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente a e un unico oggetto destinazione b in Ob(C). La scrittura f: a → b indica che f è un morfismo con sorgente a e destinazione b. L'insieme di tutti i morfismi da a a b è indicato con Mor(a,b)
• per ogni terna di oggetti a, b e c, è definita un'operazione binaria: Mor(b,c) × Mor(a,b) → Mor(a,c), chiamata composizione di morfismi. La composizione di f: b → c con g: a → b si indica con f ∘ g: a → c (talvolta si indica semplicemente fg). La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

• (associatività) se f: a → b, g: b → c e h: c → d, allora h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f
• (identità) per ogni oggetto x esiste un morfismo id_x: x → x , chiamato morfismo identità per x, tale che per ogni morfismo f : a → b vale id_b ∘ f = f = f ∘ id_a:

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe degli oggetti è un insieme. Molte importanti categorie non sono piccole.

Esempi

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

• Gli insiemi e le funzioni tra essi
• I monoidi e gli omomorfismi tra essi
• I gruppi coi loro omomorfismi
• Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
• Gli spazi topologici e le funzioni continue
• Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
• Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

• Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto $X$ (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
• Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
• Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale $C^*$ che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme $Mor(A,B)$ diventa l'insieme $Mor(B,A)$).
• Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: $(c_1,d_1) \circ (c_2,d_2) := (c_1 \circ' c_2\,,\,d_1 \circ''d_2)$.

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama

• monomorfismo se $f(g_1) = f(g_2) \Rightarrow g_1 = g_2$ per tutti i morfismi $g_1,g_2 : X \rightarrow A$.
• epimorfismo se g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.
• isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.
• endomorfismo se A = B.
• automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

Per approfondire, vedi Funtore (matematica).

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

• ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
• ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

• F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
• F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X)). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali

Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D, una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F a quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo η_X : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo η_Y $_\circ$ F(f) = G(f) $_\circ$ η_X; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia

• (EN) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons [ISBN 0-471-60922-6]
• (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
• (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categories and Structures, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X
• (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3
• William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio
• (EN) William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press
• (EN) Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer [ISBN 0-387-98403-8]
• (EN) Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories

Voci correlate

• Progetto:Matematica/Elenco di voci sulla teoria delle categorie

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Note sulla teoria delle categorie (in inglese, file .ps compresso con Gzip)

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