Teoria delle categorie

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La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una categoria C consiste di:

  • una classe Ob(C) i cui elementi sono chiamati oggetti
  • una classe Mor(C) i cui elementi sono chiamati morfismi o mappe. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente a e un unico oggetto destinazione b in Ob(C). La scrittura f: ab indica che f è un morfismo con sorgente a e destinazione b. L'insieme di tutti i morfismi da a a b è indicato con Mor(a,b)
  • per ogni terna di oggetti a, b e c, è definita un'operazione binaria: Mor(b,c) × Mor(a,b) → Mor(a,c), chiamata composizione di morfismi. La composizione di f: bc con g: ab si indica con fg: ac (talvolta si indica semplicemente fg). La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:
  • (associatività) se f: ab, g: bc e h: cd, allora h ∘ (gf) = (hg) ∘ f
  • (identità) per ogni oggetto x esiste un morfismo idx: xx , chiamato morfismo identità per x, tale che per ogni morfismo f : ab vale idbf = f = fida:

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe degli oggetti è un insieme. Molte importanti categorie non sono piccole.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

  • Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto X (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
  • Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
  • Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale C^* che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme Mor(A,B) diventa l'insieme Mor(B,A)).
  • Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: (c_1,d_1) \circ (c_2,d_2) := (c_1 \circ' c_2\,,\,d_1 \circ''d_2) .

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi[modifica | modifica wikitesto]

Un morfismo f: AB si chiama

Funtori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funtore (matematica).

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

  • ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
  • ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

  • F(idX) = idF(X) per ogni oggetto X in C.
  • F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X)). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali[modifica | modifica wikitesto]

Due funtori F, G : CD ci danno due rappresentazioni di C in D, una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F a quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo ηX : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : XY in C abbiamo ηY  _\circ F(f) = G(f)  _\circ ηX; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

Commutative diagram defining natural transformations

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che ηX sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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