Teoremi di Sylow

In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi complessi in sottogruppi più semplici.

Essi affermano quanto segue. Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ (ovvero costituito da $n$ elementi). Sia $p$ un numero primo. Allora per ogni potenza $m = p^r$ di $p$ che divida $n$ esistono sottogruppi di $G$ di ordine $m$. Inoltre, se $m$ è la massima potenza di $p$ che divida $n$, allora i sottogruppi di $G$ di ordine $m$ sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Matematische Annalen.

Primo Teorema di Sylow

Enunciato

Sia $G$ un gruppo finito, e sia $\mid G \mid$ il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo $p$ ed ogni intero $r$ tali che $p^r$ divida $|G|$, esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $p^r$.

Dimostrazione

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande $p^r$ che divide $|G|$. Quindi scriviamo $|G| = p^r m$, denotando con m un intero positivo non divisibile per $p$. Denotiamo allora con $X$ la collezione di tutti i sottoinsiemi di $G$ formati da $p^r$ elementi:

$X = \{ S \subseteq G\ |\ |S| = p^r\}.$

La cardinalità di $X$ non è divisibile per $p$. Infatti è fornita dall'espressione

$|X| = {p^r m \choose p^r} = \frac {(p^r m)(p^r m - 1) \ldots (p^r m - i) \ldots (p^r m - p^r + 1)} {(p^r)(p^r - 1) \ldots (p^r - i) \ldots 1}$ .

Essa fornisce un intero non divisibile per $p$: infatti un divisore di $|X|$ potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma $p^r - i$ con i divisibile per p; per ciascuno di questi i scriviamo $i=p^q j$, nella quale si intende che j non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore

$\frac{p^r m - i}{p^r - i} = \frac{p^{r-q}m-j}{p^{r-q}-j}$

il quale non è in grado di fornire a $|X|$ un fattore razionale contenente una potenza positiva di p; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per $|X|$, in modo da ottenere una espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per $p$.

Definiamo un'azione di $G$ su $X$:

$\begin{matrix} G \times X & \rightarrow & X \\ (g,S) & \mapsto & gS = \{gs \, | \, s \in S\}. \end{matrix}$

Sia $O(S)$ l'orbita di S tramite l'azione. Esiste sicuramente un $S$ la cui orbita $O(S)$ ha cardinalità non divisibile per $p$ (poiché le orbite formano una partizione di $X$, e $|X|$ non è multiplo di $p$).

Sia ${\rm St}_G(S)$ lo stabilizzatore di $S$. Applicando il teorema delle azioni si ottiene:

$|G| = |O(S)|\cdot|{\rm St}_G(S)|.$

Il numero $p^r$ divide $|G|$, ma $p$ non divide $|O(S)|$: allora $p^r$ divide $|{\rm St}_G(S)|$. Ne segue che

$|{\rm St}_G(S)|\geq p^r.$

D'altra parte, fissato un elemento $s$ in $S$, l'applicazione

${\rm St}_G(S)\to S\,\!$

$g\mapsto g\cdot s\,\!$

è iniettiva. Quindi vale anche

$|{\rm St}_G(S)|\leq p^r.$

Ne segue che ${\rm St}_G(S)$ è un sottogruppo di cardinalità $p^r$.

Secondo Teorema di Sylow

Per enunciare il Secondo Teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

Definizione di p-sottogruppo di Sylow

Sia $G$ un gruppo finito, e sia $p$ un numero primo che divida l'ordine $\mid G \mid$ di $G$. Sia $\mid G \mid = p^k m$, con $m$ non divisibile per $p$. (Dunque $p^k$ è la massima potenza di $p$ che divide l'ordine di $G$.) Si definisce $p$-sottogruppo di Sylow (o semplicemente $p$-Sylow) di $G$ ogni sottogruppo di $G$ di ordine $p^k$.

Enunciato

Sia G un gruppo, e sia |G|=p^km, con p ed m coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di G sono coniugati, ovvero, detto Syl_p(G) l'insieme dei p-Sylow di G, $\forall H, K \in Syl_p(G) \;\exists g \in G : g^{-1}Hg = K$

Dimostrazione

Chiamiamo (per agilità di notazioni) A:=Syl_p(G). Per mostrare che tutti i p-Sylow di G sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme A è transitiva, ovvero ha una sola orbita.

$G \times A \longrightarrow A$

$(g,P) \mapsto g^{-1}Pg$

Procediamo per assurdo. Siano D₁ e D₂ due orbite distinte, e siano P un elemento di D₁, Q un elemento di D₂ e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con $P^x = x^{-1}Px$, è un elemento di D₁. Dunque possiamo restringere l'azione a D₁:

$Q \times D_1 \longrightarrow D_1$

$(q,P) \mapsto q^{-1}Pq$

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P_i), al variare di P_i in D₁. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

$|D_1| = \sum_{i=1}^r {|O(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : St_Q(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : N_Q(P_i)|}$

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento P_i è proprio il normalizzante in Q di P_i. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di Q e poiché Q è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o 1 o una potenza propria di p (è un'immediata conseguenza del Teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D₁, possiamo dire che D₁ è l'orbita di P nella prima azione che abbiamo definito. Dunque, $|D_1| = |O(P)| = |G : St_G(P)| = |G : N_G(P)|$. Per il Teorema di Lagrange, $|G| = |G : N_G(P)| |N_G(P)| = |G : N_G(P)| |N_G(P) : P| |P|$. Dunque, ne segue che $|G : N_G(P)| |N_G(P) : P| = m$. Dunque, $|G : N_G(P)|$ è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche $|D_1|$ non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che $|O(P_j)| = 1|$. Questo significa che $|Q : N_Q(P_j)| = 1|$, e quindi che $Q = N_Q(P_j)$. Il che implica che $Q P_j = P_j Q$, poiché $q^{-1}P_jq = P_j \; \forall q \in Q$. Dunque, $Q P_j \leq G$ e il suo ordine vale:

$|Q P_j| = \frac {|Q| |P_j|} {|Q \cap P_j|}$.

Il numeratore vale $p^k \cdot p^k$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto $Q \cap P_j \leq Q$ e $Q \cap P_j \leq P_j$. Ovviamente il denominatore non può valere p^k, poiché se così fosse risulterebbe $Q = P_j$, ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque, $|Q P_j| = p^z$, con $z>k$. Ma questo è un assurdo, poiché $Q P_j \leq G$. Dunque l'ipotesi che D₁ e D₂ fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

Terzo Teorema di Sylow

Il Terzo Teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

Enunciato

Sia G un gruppo, e sia |G|=p^km, con p ed m coprimi. Allora, detto n_p il numero dei p-Sylow di G, risulta:

• n_p | m
• n_p ≡ 1 mod p

Dimostrazione

Detto A:=Syl_p(G), ovviamente n_p = |A|. Considerando P∈A, per il Secondo Teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque, $|A| = |G : St_G(P)| = |G : N_G(P)|$, dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange, $|G| = |G : N_G(P)| |N_G(P)| = |G : N_G(P)| |N_G(P) : P| |P|$. Dunque, poiché |P| = p^k, $|G : N_G(P)|$ divide m. Poiché n_p = |A|, ne segue che n_p | m.
Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo Q ∈ A e definiamo l'azione

$Q \times A \longrightarrow A$

$(q,P) \mapsto q^{-1}Pq$

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(P_i), al variare di P_i in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

$|A| = \sum_{i=1}^r {|O(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : St_Q(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : N_Q(P_i)|}$

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che $O(Q) = O(P_s) \; \exists s \in \{1, \dots, r\}$ e che $|O(P_s)| = |Q : N_Q(P_s)| = |Q : N_Q(Q)| = 1$. Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista $P_j \neq Q$ tale che $|O(P_j)| = 1$. Allora $|Q : N_Q(P_j)| = 1$, ovvero $Q = N_Q(P_j)$. Il che implica che $Q P_j = P_j Q$, poiché $q^{-1}P_jq = P_j \; \forall q \in Q$. Dunque, $Q P_j \leq G$ e il suo ordine vale:

$|Q P_j| = \frac {|Q| |P_j|} {|Q \cap P_j|}$.

Il numeratore vale $p^k \cdot p^k$ poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto $Q \cap P_j \leq Q$ e $Q \cap P_j \leq P_j$. Ovviamente il denominatore non può valere p^k, poiché se così fosse risulterebbe $Q = P_j$, ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse $P_j \neq Q$. Dunque, $|Q P_j| = p^z$, con $z>k$. Ma questo è un assurdo, poiché $Q P_j \leq G$. Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

$n_p = |A| = \sum_{i=1}^r {|O(P_i)|} \equiv 1 \; (\mathrm{mod} \; p)$

Due semplici applicazioni

Un gruppo di ordine pq con p e q primi, p minore di q che non divide q-1, per esempio di ordine 33, è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero n_q di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente n_q=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo n_p ≡ 1 mod p e poiché n_p divide q deve essere n_p=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora G si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esisono due gruppi di ordine 6 (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).

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Vediamo perché un gruppo G di ordine 132=2*2*3*11 contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n₁₁=1 o n₁₁=12. Se fosse n₃=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n₁₁=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse n₃=1 il 3-Sylow C₃ sarebbe normale. Allora G/C₃ avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale K di G di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in K genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è n₃=4. Anche in questo caso n₁₁ non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C' è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S₂ è normale. Vediamo il quoziente G/S₂: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di G di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che G ne avesse complessivamente 120).

Bibliografia

• Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, 2004, ISBN 978-0-8247-0985-3

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