Teoremi di Sylow

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In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi complessi in sottogruppi più semplici.

Essi affermano quanto segue. Sia G un gruppo finito di ordine n (ovvero costituito da n elementi). Sia p un numero primo. Allora per ogni potenza m = p^r di p che divida n esistono sottogruppi di G di ordine m. Inoltre, se m è la massima potenza di p che divida n, allora i sottogruppi di G di ordine m sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Matematische Annalen.

Primo Teorema di Sylow[modifica | modifica sorgente]

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo finito, e sia \mid G \mid il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo p ed ogni intero r tali che p^r divida |G|, esiste un sottogruppo di G di ordine p^r.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande p^r che divide |G|. Quindi scriviamo |G| = p^r m, denotando con m un intero positivo non divisibile per p. Denotiamo allora con X la collezione di tutti i sottoinsiemi di G formati da p^r elementi:

 X = \{ S \subseteq G\ |\ |S| = p^r\}.

La cardinalità di X non è divisibile per  p . Infatti è fornita dall'espressione

|X| = {p^r m \choose p^r}
= \frac {(p^r m)(p^r m - 1) \ldots (p^r m - i) \ldots (p^r m - p^r + 1)}
        {(p^r)(p^r - 1) \ldots (p^r - i) \ldots 1} .

Essa fornisce un intero non divisibile per  p : infatti un divisore di |X| potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma p^r - i con i divisibile per p; per ciascuno di questi i scriviamo i=p^q j, nella quale si intende che j non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore

\frac{p^r m - i}{p^r - i} = \frac{p^{r-q}m-j}{p^{r-q}-j}

il quale non è in grado di fornire a |X| un fattore razionale contenente una potenza positiva di p; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per |X|, in modo da ottenere una espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per p.

Definiamo un'azione di G su X:


\begin{matrix}
G \times X & \rightarrow & X \\
(g,S) & \mapsto & gS = \{gs \, | \, s \in S\}.
\end{matrix}

Sia  O(S) l'orbita di S tramite l'azione. Esiste sicuramente un  S la cui orbita O(S) ha cardinalità non divisibile per  p (poiché le orbite formano una partizione di  X, e  |X| non è multiplo di  p ).

Sia  {\rm St}_G(S) lo stabilizzatore di  S . Applicando il teorema delle azioni si ottiene:

|G| = |O(S)|\cdot|{\rm St}_G(S)|.

Il numero p^r divide  |G| , ma p non divide  |O(S)| : allora p^r divide |{\rm St}_G(S)|. Ne segue che

|{\rm St}_G(S)|\geq p^r.

D'altra parte, fissato un elemento  s in  S , l'applicazione

{\rm St}_G(S)\to S\,\!
g\mapsto g\cdot s\,\!

è iniettiva. Quindi vale anche

|{\rm St}_G(S)|\leq p^r.

Ne segue che {\rm St}_G(S) è un sottogruppo di cardinalità  p^r.

Secondo Teorema di Sylow[modifica | modifica sorgente]

Per enunciare il Secondo Teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

Definizione di p-sottogruppo di Sylow[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo finito, e sia p un numero primo che divida l'ordine \mid G \mid di G. Sia \mid G \mid = p^k m, con m non divisibile per p. (Dunque p^k è la massima potenza di p che divide l'ordine di G.) Si definisce p-sottogruppo di Sylow (o semplicemente p-Sylow) di G ogni sottogruppo di G di ordine p^k.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo, e sia |G|=pkm, con p ed m coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di G sono coniugati, ovvero, detto Sylp(G) l'insieme dei p-Sylow di G, \forall H, K \in Syl_p(G) \;\exists g \in G : g^{-1}Hg = K

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Chiamiamo (per agilità di notazioni) A:=Sylp(G). Per mostrare che tutti i p-Sylow di G sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme A è transitiva, ovvero ha una sola orbita.

 G \times A \longrightarrow A
 (g,P) \mapsto g^{-1}Pg

Procediamo per assurdo. Siano D1 e D2 due orbite distinte, e siano P un elemento di D1, Q un elemento di D2 e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con P^x = x^{-1}Px, è un elemento di D1. Dunque possiamo restringere l'azione a D1:

 Q \times D_1 \longrightarrow D_1
 (q,P) \mapsto q^{-1}Pq

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(Pi), al variare di Pi in D1. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

|D_1| = \sum_{i=1}^r {|O(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : St_Q(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : N_Q(P_i)|}

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento Pi è proprio il normalizzante in Q di Pi. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di Q e poiché Q è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o 1 o una potenza propria di p (è un'immediata conseguenza del Teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D1, possiamo dire che D1 è l'orbita di P nella prima azione che abbiamo definito. Dunque, |D_1| = |O(P)| = |G : St_G(P)| = |G : N_G(P)|. Per il Teorema di Lagrange, |G| = |G : N_G(P)| |N_G(P)| = |G : N_G(P)| |N_G(P) : P| |P|. Dunque, ne segue che  |G : N_G(P)| |N_G(P) : P| = m . Dunque,  |G : N_G(P)| è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche |D_1| non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che |O(P_j)| = 1|. Questo significa che |Q : N_Q(P_j)| = 1|, e quindi che Q = N_Q(P_j). Il che implica che Q P_j = P_j Q, poiché q^{-1}P_jq = P_j \; \forall q \in Q. Dunque, Q P_j \leq G e il suo ordine vale:

|Q P_j| = \frac {|Q| |P_j|} {|Q \cap P_j|}.

Il numeratore vale p^k \cdot p^k poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto Q \cap P_j \leq Q e Q \cap P_j \leq P_j. Ovviamente il denominatore non può valere pk, poiché se così fosse risulterebbe Q = P_j, ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque, |Q P_j| = p^z, con z>k. Ma questo è un assurdo, poiché Q P_j \leq G. Dunque l'ipotesi che D1 e D2 fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

Terzo Teorema di Sylow[modifica | modifica sorgente]

Il Terzo Teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia G un gruppo, e sia |G|=pkm, con p ed m coprimi. Allora, detto np il numero dei p-Sylow di G, risulta:

  • np | m
  • np ≡ 1 mod p

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Detto A:=Sylp(G), ovviamente np = |A|. Considerando PA, per il Secondo Teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque, |A| = |G : St_G(P)| = |G : N_G(P)|, dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange, |G| = |G : N_G(P)| |N_G(P)| = |G : N_G(P)| |N_G(P) : P| |P|. Dunque, poiché |P| = pk, |G : N_G(P)| divide m. Poiché np = |A|, ne segue che np | m.
Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo QA e definiamo l'azione

 Q \times A \longrightarrow A
 (q,P) \mapsto q^{-1}Pq

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(Pi), al variare di Pi in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

|A| = \sum_{i=1}^r {|O(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : St_Q(P_i)|} = \sum_{i=1}^r {|Q : N_Q(P_i)|}

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che O(Q) = O(P_s) \; \exists s \in \{1, \dots, r\} e che |O(P_s)| = |Q : N_Q(P_s)| = |Q : N_Q(Q)| = 1. Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista P_j \neq Q tale che |O(P_j)| = 1. Allora |Q : N_Q(P_j)| = 1, ovvero Q = N_Q(P_j). Il che implica che Q P_j = P_j Q, poiché q^{-1}P_jq = P_j \; \forall q \in Q. Dunque, Q P_j \leq G e il suo ordine vale:

|Q P_j| = \frac {|Q| |P_j|} {|Q \cap P_j|}.

Il numeratore vale p^k \cdot p^k poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto Q \cap P_j \leq Q e Q \cap P_j \leq P_j. Ovviamente il denominatore non può valere pk, poiché se così fosse risulterebbe Q = P_j, ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse P_j \neq Q. Dunque, |Q P_j| = p^z, con z>k. Ma questo è un assurdo, poiché Q P_j \leq G. Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

n_p = |A| = \sum_{i=1}^r {|O(P_i)|} \equiv 1 \; (\mathrm{mod} \; p)

Due semplici applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo di ordine pq con p e q primi, p minore di q che non divide q-1, per esempio di ordine 33, è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero nq di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente nq=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo np ≡ 1 mod p e poiché np divide q deve essere np=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora G si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esisono due gruppi di ordine 6 (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).


Vediamo perché un gruppo G di ordine 132=2*2*3*11 contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n11=1 o n11=12. Se fosse n3=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n11=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse n3=1 il 3-Sylow C3 sarebbe normale. Allora G/C3 avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale K di G di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in K genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è n3=4. Anche in questo caso n11 non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C' è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S2 è normale. Vediamo il quoziente G/S2: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di G di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che G ne avesse complessivamente 120).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, 2004, ISBN 978-0-8247-0985-3
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