Sottogruppo caratteristico

In teoria dei gruppi, un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene.

In formule, $H < G$ è caratteristico $\Leftrightarrow \forall \phi \in Aut(G), \text{Img}_\phi(H)=H$.

Osserviamo che non è richiesto che $\phi$ fissi $H$, ovvero sia l'identità su esso; quindi è evidente che ogni gruppo ha un sottogruppo caratteristico banale, che è il gruppo stesso.

Spesso si dimostra che un sottogruppo è caratteristico semplicemente osservando che non ci sono altri sottogruppi aventi la stessa cardinalità.

Proprietà

• L'essere un sottogruppo caratteristico è una condizione più forte dell'essere un sottogruppo normale. Infatti se tutti gli automorfismi di $G$ mandano $H$ in sé, in particolare questo sarà vero per gli automorfismi interni, e quindi $H$ sarà normale.

• Non è necessariamente vero invece che un gruppo normale è caratteristico: ad esempio $\mathbb Z_2 \otimes \mathbb Z_2$ è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali; tuttavia, l'applicazione $\phi$ definita come:

$\phi((a,b))=(b,a)$

è un automorfismo che manda il sottogruppo $<(1,0)>$ in $<(0,1)>$, non in sé.

• Siano $K<H<G$. Se $K$ è caratteristico in $H$ e $H$ è caratteristico in $G$, $K$ lo è anche in $G$. Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico può non essere caratteristico, così come un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico.

Esempi

• Il centro di un gruppo $G$ è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento $g \in Z(G)$, abbiamo che $(\forall h \in G) gh=hg$. Ma allora, dato $\phi$ automorfismo, abbiamo che $\forall h \in G$:

$\phi(g)h=\phi(g)\phi(\phi^{-1}(h))=\phi(g\phi^{-1}(h))=\phi(\phi^{-1}(h)g)=\phi(\phi^{-1}(h))\phi(g)=h \phi(g)$

ovvero $\phi(g) \in Z(G)$.

• Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).
• Il sottogruppo derivato di un gruppo G è sempre caratteristico.

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