Sottogruppo caratteristico

In matematica, un sottogruppo caratteristico di un gruppo $G$ è un sottogruppo $H$ tale che $\phi (H)=H$ per ogni automorfismo $\phi$ di $G$. Esempi di sottogruppi caratteristici sono il sottogruppo banale $\{e\}$ formato dal solo elemento neutro di $G$, $G$ stesso, il centro e il sottogruppo derivato di $G$.

Esempi

• Il centro di un gruppo $G$ è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento $g\in Z(G)$, abbiamo che $(\forall h\in G)gh=hg$. Ma allora, dato $\phi$ automorfismo, abbiamo che $\forall h\in G$:

$\phi (g)h=\phi (g)\phi (\phi ^{-1}(h))=\phi (g\phi ^{-1}(h))=\phi (\phi ^{-1}(h)g)=\phi (\phi ^{-1}(h))\phi (g)=h\phi (g)$

ovvero $\phi (g)\in Z(G)$.

• Il sottogruppo derivato di $G$, ovvero il sottogruppo generato dai commutatori, è caratteristico, perché l'immagine di ogni commutatore è ancora un commutatore; più precisamente,

$\phi ([g,h])=[\phi (g),\phi (h)]$.

• Più in generale, ogni elemento delle: serie centrale discendente, serie centrale ascendente, serie derivata, $p$-serie discendente, serie di Jennings è un sottogruppo caratteristico.

• Se $H$ è l'unico sottogruppo di $G$ di una certa cardinalità $n$, allora $H$ è caratteristico, perché per ogni automorfismo $\phi$ l'immagine $\phi (H)$ è ancora un sottogruppo di cardinalità $n$. Questa condizione non è necessaria: ad esempio, se $G=D_{4}=\langle \sigma ,\tau \rangle$ è il gruppo diedrale con 8 elementi (dove $\sigma$ è la rotazione e $\tau$ una riflessione), allora $\langle \sigma ^{2}\rangle$ è un sottogruppo caratteristico (essendo il centro di $G$) che ha ordine 2, mentre $\langle \tau \rangle$ è un sottogruppo non caratteristico di ordine 2.

• Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).

• Sottogruppo di torsione e il sottogruppo di $p$-torsione

• Sottogruppo di Frattini

Proprietà

• Ogni sottogruppo caratteristico è normale; questo segue dal fatto che un sottogruppo è normale in $G$ se e solo se è fissato da ogni automorfismo interno. Viceversa, un sottogruppo normale può non essere caratteristico: ad esempio, il prodotto diretto $G=\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali, ma l'applicazione $\phi$, definita da

$\phi ((a,b))=(b,a)$

è un automorfismo che manda il sottogruppo $\langle (1,0)\rangle$ in $\langle (0,1)\rangle$, non in sé.

• Siano $K<H<G$. Se $K$ è caratteristico in $H$ e $H$ è caratteristico in $G$, $K$ lo è anche in $G$. Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: né un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico, né un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico sono necessariamente caratteristici.

Bibliografia

• Antonio Machì, Gruppi, Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0622-5.