Sommatoria

La sommatoria è un simbolo matematico che abbrevia, in una notazione sintetica, la somma di un certo insieme di addendi. La notazione prevede:

• una lettera sigma maiuscola: $\Sigma$
• una lettera speciale chiamata indice della sommatoria (in genere si usano le lettere k, i, j o n minuscole)
• un'espressione algebrica alla destra della Sigma in cui può comparire l'indice della sommatoria
• un intervallo di valori (interi) in cui può variare l'indice da indicare sopra e sotto la sigma.

Nel caso più generale possibile abbiamo quindi una scrittura del tipo

$\sum_{k=N}^M f(k)$

dove N e M sono dei numeri interi, detti rispettivamente limite inferiore della sommatoria e limite superiore della sommatoria. La scrittura si legge "sommatoria per k che va da N a M di f(k)". Con questa notazione si indica la somma di tutti gli addendi che si ottengono sostituendo all'indice k di f(k) tutti i valori interi che vanno dal numero N al numero M compresi.

Esempi

Se $f(k)=k^2$

$\sum_{k=4}^{10} k^2 = 4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2 = 371$.

O ancora, se $f(m)=m$

$\sum_{m=1}^{10} m = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55$.

Sommatorie infinite

È anche possibile utilizzare questa notazione per somme di un numero infinito di termini; esse sono chiamate serie infinite. Al posto dell'n sopra il simbolo di sommatoria si usa il simbolo di infinito (∞). La somma di una serie siffatta è definita come il limite della somma dei primi n termini, al crescere di n oltre un qualsivoglia valore. In formule,

$\sum_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \sum_{i=m}^{n} x_{i}.$

Si può anche rimpiazzare m con un infinito negativo, e avere

$\sum_{i=-\infty}^\infty x_i := \lim_{n\to\infty}\sum_{i=-n}^m x_i + \lim_{n\to\infty}\sum_{i=m+1}^n x_i,$

per un intero a scelta m, ammesso che entrambi i limiti esistano.

Altri usi

È in uso lo stesso simbolo anche per descrivere somme i cui addendi non sono in corrispondenza con i numeri interi, ma soddisfano condizioni più generali, come ad esempio

$\sum_{p|n}f(p)$

dove la somma si estende a tutti i numeri che dividono un dato numero n,

$\sum_{0\le x< 100 \atop x \in \Z} f(x)$

la somma di f(x) su tutti gli x interi nell'intervallo specificato,

$\sum_{x\in S} f(x)$

la somma su tutti gli x appartenenti all'insieme S.

Nella matematica del continuo, l'equivalente della somma è l'integrale, il cui simbolo nasce appunto dalla deformazione del simbolo di sommatoria.

Albert Einstein introdusse per matrici e serie una notazione semplificata che da lui prende nome.

Alcune identità in cui compaiono sommatorie

La formula per la somma di tutti gli interi da m a n è

$\sum_{i=m}^{n} i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$

Dimostrazione

Consideriamo la somma degli interi da 3 (m) a 7 (n), abbiamo 3+4+5+6+7, aggiungiamo e togliamo tutti i numeri che precedono il 3 cioè nel nostro caso 1+2 che sarebbe la somma dei primi numeri interi da 1 a n, n è 2 ovvero 3-1=2 (m-1). La nostra somma diventa: 1+2+3+4+5+6+7-(1+2) Possiamo notare che il risultato è la differenza tra la somma degli interi da 1 a n meno la somma degli interi da 1 a m-1, la somma degli n interi partendo da 1 è la formula di Gauss che trovò da ragazzino:

$\frac{n(n+1)}{2}$

Per la somma degli interi da 1 a m-1 abbiamo:

$\frac{(m-1)(m-1+1)}{2}$

$\frac{m(m-1)}{2}$

Il nostro risultato sarebbe la differenza fra i due, ovvero:

$\frac{n(n+1)}{2}-\frac{m(m-1)}{2}$

Con alcuni passaggi algebrici sviluppiamo e troviamo la nostra formula compatta:

$\frac{n^2+n-m^2+m}{2}$

$\frac{n^2-m^2+n+m}{2}$

$n^2-m^2=(n+m)(n-m)$

$\frac{(n+m)(n-m)+n+m}{2}$

$\frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$

ad es.

$\sum_{i=10}^{15} i = \frac{(15-10+1)(15+10)}{2} = \frac{150}{2} = 75$

Quindi in particolare la somma dei primi n interi positivi è

$\sum_{i=0}^{n} i = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

ad es.

$\sum_{i=0}^{10} i = \sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$

La formula della somma dei primi n quadrati invece è

$\sum_{i=0}^{n} i^2 = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

ad es.

$\sum_{i=0}^{5} i^2 = \sum_{i=1}^{5} i^2 = \frac{5(5+1)(2\cdot 5+1)}{6} = \frac{330}{6} = 55$

$\sum_{i=1}^{5} i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 55$

Da queste formule si può anche ricavare quella relativa alla somma dei primi n cubi.

Una relazione che lega i primi n cubi ai primi n numeri è la seguente:

$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^{2}$

$\sum_{i=1}^{3} i^{3} = 1^3+2^3+3^3=36=(1+2+3)^{2}$

Dimostrazione

Si dimostra per induzione.

Base dell'induzione: per $n=1$ si ha: $\sum_{i=1}^{1} i^{3} = \left(\sum_{i=1}^{1} i\right)^{2}$

$1^{3} = 1^{2}$ cioè $1 = 1$

Passo induttivo: Assumiamo vera l'ipotesi per $n$

Si ha quindi: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = (1 + 2 + 3 + ... + n)^{2}$

Poiché il secondo membro dell'equazione è una serie aritmetica elevata al quadrato si ha:

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = \left[\frac{n (n + 1)}{2}\right]^{2}$

Dimostriamo che vale per $n + 1$.

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} + (n + 1)^{3} = \left[\frac{n (n + 1)}{2}\right]^{2} + (n + 1)^3$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} + (n + 1)^{3} = (n + 1)^{2} \left(\frac{n^{2} + 4n + 4}{4}\right)$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} + (n + 1)^{3} = (n + 1)^{2} \left(\frac{n + 2}{2}\right)^{2}$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} + (n + 1)^{3} = \left[\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right]^{2}$

E questa è esattamente la $(n + 1)$. Questo teorema ci dice inoltre che la somma dei primi $n$ cubi è data da: $\left[\frac{n (n + 1)}{2}\right]^{2}$

Tuttavia la dimostrazione qui sopra, per induzione, non è una dimostrazione "costruttiva", in quanto assume che sia da dimostrare che:

$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^{2}$

senza dare alcuna giustificazione da dove questa formula provenga.

Una dimostrazione "costruttiva" di questo assunto può essere questa:

Partiamo dalla formula:

$\left(\sum_{i=0}^{n} i\right)^{2} = \sum_{i=0}^{n} i^{2} + 2\sum_{i=0}^{n-1} i\sum_{m=i+1}^{n}m$

Questa formula è un modo generale per scrivere il quadrato di un polinomio (compaiono infatti tutti i termini quadrati e tutti i doppi prodotti) applicato al quadrato della somma dei primi n numeri naturali.

Si può quindi procedere a risolvere le sommatorie di cui si conosce la somma, ricordando che:

$\sum_{i=0}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}$

e che

$\sum_{i=k}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2} - \frac{k(k-1)}{2}$

(poiché :$\sum_{i=k}^{n} i=\sum_{i=0}^{n} i - \sum_{i=0}^{k-1} i$ )

da cui:

$\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{i=0}^{n} i^2 + 2\sum_{i=0}^{n-1}i[\frac{n(n+1)}{2}-\frac{i(i+1)}{2}]$

$\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{i=0}^{n} i^2 + n(n+1)\sum_{i=0}^{n-1}i-\sum_{i=0}^{n-1}i^3-\sum_{i=0}^{n-1}i^2$

considerando che:

$\sum_{i=0}^{n-1}i^2=(\sum_{i=0}^{n}i^2)-n^2$

posso semplificare il termine $\sum_{i=0}^{n}i^2$, ottenendo:

$\frac{n^2(n+1)^2}{4}=n(n+1)\frac{(n-1)n}{2}-\sum_{i=0}^{n-1}i^3+n^2$

da cui si ricava:

$\sum_{i=0}^{n-1}i^3=\frac{n^2(n-1)^2}{4}$

o, facendo finire la sommatoria ad n:

$\sum_{i=0}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1}^i k \right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Voci correlate

• Addizione
• Somma vuota
• Produttoria

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file su Sommatoria

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica