Quadrato (algebra)

Il grafico di $y=x^2$, per i valori di $x$ compresi tra $0$ e $25$.

In algebra, viene definito quadrato di un numero x l'elevamento dello stesso alla seconda potenza, ossia la sua moltiplicazione per sé stesso eseguita una volta:

$x^2 = x \cdot x \;$.

Il termine quadrato viene dalla geometria, poiché l'area di un quadrato si ottiene appunto moltiplicando il lato per sé stesso.

Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale minore o uguale a zero, mentre per i numeri complessi si calcola

$\left(a + i b\right)^2 = a^2 - b^2 + i \cdot 2 a b$.

Proprietà

• Il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dato che il prodotto di valori con lo stesso segno è sempre positivo. Quindi

$x^2\ge0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

• Per lo stesso motivo vale la relazione

$x^2 = \left(-x\right)^2 \;$.

Ad esempio il quadrato di 2 è 4, ma anche il quadrato di -2 è uguale a 4.

• Il quadrato di un numero immaginario è sempre minore di zero, perché elevando al quadrato l'unità immaginaria si ottiene un numero negativo, che si moltiplica poi con il quadrato del coefficiente (che è positivo).

Quadrati perfetti

Per approfondire, vedi Quadrato perfetto.

Il quadrato di un numero intero diverso da zero è sempre un numero naturale. I numeri naturali che sono quadrati di numeri interi si definiscono quadrati perfetti. Di seguito alcune proprietà:

• Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ può essere rappresentato anche dalla somma

$1+1+2+2+\ldots+(n-1)+(n-1)+n$

Ad esempio

$4^2=1+1+2+2+3+3+4=16$

• Il quadrato di un qualsiasi numero intero $n$ è inoltre uguale alla somma dei primi $n$ numeri dispari:

$5^2=1+3+5+7+9=25$

indicabile attraverso la formula $n^2=\sum_{k=0}^{n-1} 2k+1$.

• La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali vale

$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}=\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.$

• Il quadrato di un qualsiasi numero naturale $n$, maggiore di zero si può anche calcolare con la formula:

$n^2= n + 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

diretta conseguenza del fatto che: $\sum_{k=1}^{n} k = [(n)(n+1)] / 2$

... $\sum_{k=1}^{n-1} k = {[(n)(n+1)] / 2} - n$

... $2\sum_{k=1}^{n-1} k = [(n)(n+1)] - 2n$

... $2\sum_{k=1}^{n-1} k = n^2 + n - 2n$

... $2\sum_{k=1}^{n-1} k = n^2 - n$

... $n^2= n + 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

(fonte TK77)

Voci correlate

• Numero quadrato
• Quadrato (geometria)
• Cubo
• Potenza (matematica)
• Radice quadrata
• Potenza di due

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «quadrato»

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica