Quadrato (algebra)

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Il grafico di y=x^2, per i valori di x compresi tra 0 e 25.

In algebra, viene definito quadrato di un numero x l'elevamento dello stesso alla seconda potenza, ossia la sua moltiplicazione per sé stesso eseguita una volta:

x^2 = x \cdot x.

Il termine quadrato viene dalla geometria, poiché l'area di un quadrato si ottiene appunto moltiplicando il lato per sé stesso.

Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale minore o uguale a zero, mentre per i numeri complessi si calcola

\left(a + i b\right)^2 = a^2 - b^2 + i \cdot 2 a b.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero, dato che il prodotto di valori con lo stesso segno è sempre positivo. Quindi
x^2\ge0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.
  • Per lo stesso motivo vale la relazione
x^2 = \left(-x\right)^2 .

Ad esempio il quadrato di 2 è 4, ma anche il quadrato di -2 è uguale a 4.

  • Il quadrato di un numero immaginario è sempre minore di zero, perché elevando al quadrato l'unità immaginaria si ottiene un numero negativo, che si moltiplica poi con il quadrato del coefficiente (che è positivo).

Quadrati perfetti[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Quadrato perfetto.

Il quadrato di un numero intero diverso da zero è sempre un numero naturale. I numeri naturali che sono quadrati di numeri interi si definiscono quadrati perfetti. Di seguito alcune proprietà:

  • Il quadrato di un qualsiasi numero intero n può essere rappresentato anche dalla somma
1+1+2+2+\ldots+(n-1)+(n-1)+n.

Ad esempio

4^2=1+1+2+2+3+3+4=16.
  • Il quadrato di un qualsiasi numero intero n è inoltre uguale alla somma dei primi n numeri dispari:
5^2=1+3+5+7+9=25

indicabile attraverso la formula

 n^2=\sum_{k=0}^{n-1} 2k+1.
\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}=\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.
  • Il quadrato di un qualsiasi numero naturale n, maggiore di zero si può anche calcolare con la formula:
n^2= n + 2\sum_{k=1}^{n-1} k

diretta conseguenza del fatto che:

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{(n)(n+1)}{2}
\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n)(n+1)}{2} - n
2\sum_{k=1}^{n-1} k = [(n)(n+1)] - 2n
2\sum_{k=1}^{n-1} k = n^2 + n - 2n
2\sum_{k=1}^{n-1} k = n^2 - n
n^2= n + 2\sum_{k=1}^{n-1} k
(fonte TK77)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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