Terna pitagorica

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Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali a, b, c tali che a2 + b2 = c2. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica, e viceversa.

Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è quindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc. Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.

Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία):

a = m^2-n^2\, ;\;\; b= 2mn\, ;\;\; c = m^2+n^2

Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se m e n sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia n che m sono dispari a, b e c sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi m > n, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:

 a = k\cdot(m^2 - n^2) \,;\, b = k\cdot(2mn) \,;\, c = k\cdot(m^2 + n^2)

Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di m e n.

Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di a per b (dei due cateti) è sempre divisibile per 12, mentre il prodotto abc (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per 60. (60 = 3×4×5)

Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con c < 100:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17)
(9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Eccone altre:

(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)


Un buon punto di partenza per l'esplorazione delle terne pitagoriche è quello di riordinare l'equazione originale nella forma:

a2 = (cb)(c + b)

È interessante notare che ci possono essere più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il primo esempio è con il 20, che è il più piccolo intero di due terne primitive: 20, 21, 29 e 20, 99, 101.

Al contrario, il numero 1229779565176982820 è il minore intero in esattamente 15386 terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:

1229779565176982820
1230126649417435981
1739416382736996181

e

1229779565176982820
378089444731722233953867379643788099
378089444731722233953867379643788101.

Per i curiosi, si consideri la fattorizzazione:

1229779565176982820 = 22 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47.

Il numero di fattori primi è collegato alla gran quantità di terne pitagoriche primitive. Si noti che ci sono interi più grandi che sono gli interi più piccoli di un numero ancora più grande di terne primitive.

L'ultimo teorema di Fermat dice che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di 2 (cioè che l'equazione an = bn + cn non ammette soluzione per n > 2; a parte, come detto, i casi banali per cui a, b e c hanno un divisore in comune e quelli ancor più banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).

Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come n=p(p+2), la sua derivata aritmetica come n'=2(p+1) e \sqrt{n^2+n'^2}=(p+1)^2+1=p(p+2)+2=n+2. Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva

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