Notazione di Einstein

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In algebra lineare la notazione di Einstein o la convenzione di Einstein nelle sommatorie è una convenzione per contrarre i tensori: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.

Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello spazio di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.

La convenzione è stata introdotta dallo stesso Albert Einstein per rendere più concise alcune equazioni di geometria differenziale utili a formulare la relatività generale. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nell'articolo del 1916 "La fondazione della teoria della relatività generale" (Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie)[1], dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata", da applicare ai tensori precedentemente introdotti. A proposito scrive:

« Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e unicamente rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno \sum. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da Levi-Civita, indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto. »

La convenzione è quindi la seguente:

Quando un indice si presenta due volte in un termine di una espressione occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Generalmente la convenzione di Einstein è usata in presenza di tensori. Gli esempi qui proposti sono tutti tensori.

Prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto scalare di due vettori x e y dello spazio euclideo \R^n è definito come

 \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i.

Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come

 \langle x,y \rangle = x_iy^i.

Infatti il termine x_iy^i contiene due volte l'indice i, una volta come covariante ed una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di i può essere sottintesa.

Prodotto vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto vettoriale di due vettori u e v in \R^3 è definito come

(u\times v)_i = \varepsilon_{ijk} u^j v^k\,\!

Nell'espressione è sottintesa una somma sugli indici j e k poiché entrambi compaiono due volte in posizioni opposte nel termine di destra. Il simbolo \varepsilon_{ijk} dipendente da 3 indici è il simbolo di Levi-Civita. L'espressione però non è sommata sull'indice i, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni i l'i-esima componente del prodotto vettoriale fra u e v.

Indicando con

 \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3

la base canonica di \R^3, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo

u\times v = \varepsilon_{ijk} u^j v^k \mathbf e^y

Qui la somma è effettuata su tutti gli indici y,j,k. In altre parole,

u\times v = \sum_{y= 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_y.

Indici muti e liberi[modifica | modifica wikitesto]

In una espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano muti e gli altri sono liberi. Ad esempio, nell'espressione

v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h

gli indici k e h sono muti e l'indice i è libero. Poiché gli indici k e h devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:

v^i = T^i_h w^h - U^i_k z^k.

Notazione astratta degli indici[modifica | modifica wikitesto]

La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i tensori) valgano componente per componente o se siano equazioni tensoriali, indipendenti dalla scelta di una base. Per questo motivo Roger Penrose e altri[2] hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten:

  • Equazioni che contengano indici indicati da lettere latine, del tipo
    T^{a_1, \dots, a_r}_{b_1, \dots, b_s}
    sono da considerarsi relazioni tra tensori e non è necessaria la scelta di una base di coordinate
  • Equazioni che contengano indici indicati da lettere greche, del tipo
    T^{\mu_1, \dots, \mu_r}_{\nu_1, \dots, \nu_s}
    sono da considerarsi relazioni tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria la scelta di una base di coordinate.

La notazione astratta degli indici (abstract index notation) distingue queste due situazioni; pertanto

T^{abc}_{de}, \ T^{a_1, \dots, a_r}_{b_1, \dots, b_s}

indicano veri e propri tensori di tipo (3, 2) e  (r,s) , mentre

 T^{\mu}_\lambda

indica un numero, componente del tensore T dipendente dai numeri \mu e \lambda.

Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno spaziotempo a 4 dimensioni[2], tuttavia ancora diffuso[3], secondo il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali Per esempio,

x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2

dove abbiamo usato la metrica

g_{\mu \nu} = diag(-1, +1, +1, +1) \

e x^0 = ct, invece

x^{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{3} = ||\hat{x}||^2.

La parte spaziale (vettore 3 dimensionale) del quadrivettore x è indicata da \hat{x} e

||\hat{x}||^2

è la norma quadra di \hat{x}.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Articolo originale della teoria della relatività generale (tedesco), pdf
  2. ^ a b in (EN) Robert M. Wald, General Relativity, 1a edizione, University of Chicago Press, 1984, ISBN 0-226-87033-2. si riportano due lavori Penrose (1968) e Penrose e Rindler (1984) a proposito dell'introduzione della notazione astratta degli indici.
  3. ^ Gian Maria Prosperi, Elementi di teoria della relatività ristretta, Cusl, 2004, ISBN 88-8132-505-5.
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