Simbolo di Levi-Civita

In matematica, il simbolo di Levi-Civita, detto anche simbolo delle permutazioni di 1, 2 e 3, simbolo alternante, o simbolo di Ricci, è un simbolo matematico particolarmente usato nel calcolo tensoriale. Il termine deriva dal matematico italiano Tullio Levi-Civita.

Definizione

Simbolo di Levi-Civita

Visualizzazione del simbolo di Levi-Civita

Il simbolo di Levi-Civita è definito nel modo seguente:

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{se } (i,j,k)=(1,2,3), (2,3,1) \text{ o } (3,1,2)\\ -1 & \text{se } (i,j,k)=(3,2,1), (1,3,2) \text{ o } (2,1,3)\\ 0 & \text{altrimenti: }i=j \text{ e/o } j=k \text{ e/o } k=i \end{cases}$

In algebra lineare, si può definire il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali come:

$\mathbf{a \times b} := \begin{vmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k$

o più concisamente:

$\mathbf{a \times b} := \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k$

Questa scrittura può ulteriormente semplificarsi usando la notazione di Einstein come: $c_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k$. Il tensore le cui componenti sono date dal simbolo di Levi-Civita, tensore di rango covariante 3, è chiamato anche tensore di permutazione.

Il simbolo di Levi-Civita si può generalizzare a più di 3 indici e dimensioni:

$\epsilon_{ijkl\dots} := \begin{cases} +1 & \text{se }(i,j,k,l,\ldots) \text{ è una permutazione pari di } (1,2,3,4,\ldots) \\ -1 & \text{se }(i,j,k,l,\ldots) \text{ è una permutazione dispari di } (1,2,3,4,\ldots) \\ 0 & \text{se due indici coincidono} \end{cases}$

È opportuno ricordare che per "permutazioni pari" si intendono le permutazioni ottenute con un numero pari di trasposizioni, mentre per "permutazioni dispari" si intendono, ovviamente, quelle ottenute con un numero dispari di trasposizioni. Ricordiamo anche che per "trasposizione" si intende lo scambio di due elementi non necessariamente contigui e che lo zero è considerato pari. Ad esempio, per le permutazioni di (1,2,3) si ha:

• 123 è una permutazione pari perché ottenuta con zero trasposizioni
• 123 → 213 è una permutazione dispari perché ottenuta con una trasposizione (scambio di 1 e 2)
• 123 → 213 → 231 è una permutazione pari perché ottenuta con due trasposizioni (scambio di 1 e 2, scambio di 1 e 3)

Un buon metodo per identificare immediatamente la parità o la disparità di una permutazione è quello di scrivere tutti gli elementi due volte nell'ordine naturale e due volte nell'ordine inverso ed osservare in quale delle due scritture è compresa l'ennupla rappresentante la permutazione. Per il nostro esempio si ha:

• 123123 per le permutazioni pari, che sono in totale tre: 123, 231, 312
• 321321 per le permutazioni dispari, che sono anch'esse in totale tre: 321, 213, 132

Notiamo infine come il simbolo di Levi-Civita sia in molti testi citato come ε, ovvero "epsilon di permutazione" o "epsilon permutation".

Relazione con la delta di Kronecker

Un simbolo che spesso si incontra insieme a quello di levi-Civita è la delta di Kronecker. In tre dimensioni, la relazione è data dalle seguenti equazioni:

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\ \end{vmatrix}$

$= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,$

$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

Nella notazione di Einstein, la presenza di due i implica la somma sull'indice i. L'equazione precedente viene scritta come:

$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

e quindi

$\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

Proprietà

Nei seguenti esempi i pedici devono essere considerati equivalenti agli apici.

• Con $n=2$, si ha che per ogni $i,j,m,n$ in $\{1,2\}$,

$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn}$ $=$ $\delta_i^m \delta_j^n - \delta_i^n \delta_j^m$, (1)

$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in}$ $=$ $\delta_j^n$, (2)

$\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij}=2$. (3)

• Se $n=3$, si ha che per ogni $i,j,k,m,n$ in $\{1,2,3\},$

$\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2\delta^i_j$, (4)

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6$, (5)

$\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta^{n}_j\delta^{m}_k - \delta^{m}_j\delta^{n}_k$. (6)

Voci correlate

• Densità tensoriale

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