Prodotto vettoriale

In calcolo vettoriale il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna sui vettori in uno spazio euclideo tridimensionale. A differenza del prodotto scalare esso genera un vettore e non uno scalare.

Notazioni

Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo $\times$ o con il simbolo $\wedge$. Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il prodotto esterno (o prodotto wedge) nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale.

Definizione

Prodotto vettoriale in un sistema destrogiro

Il prodotto vettoriale, tra due generici vettori a e b, è definito come il vettore ortogonale sia ad a che a b tale che:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat{n} \cdot \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \, \mathrm{{sin}} \, \theta$

dove θ è la misura dell'angolo tra a e b (dove 0° ≤ θ ≤ 180°), mentre n è il versore (un vettore di modulo unitario) che determina la direzione del prodotto vettoriale (ed è, come specificato più sopra, ortogonale sia ad a che a b).

Il problema riguardo alla definizione del versore n è che vi sono due versori perpendicolari sia ad a che a b, uno di verso opposto all'altro in quanto, se n è perpendicolare ad a ed a b, allora lo sarà anche il versore −n.

Convenzionalmente si sceglie n in modo tale che i vettori a, b ed a × b siano orientati secondo un sistema destrogiro se il sistema di assi coordinati (i, j, k) è destrogiro, oppure sinistrogiro se (i, j, k) è sinistrogiro. Quindi l'orientazione del versore n dipenderà dall'orientazione dei vettori nello spazio, ovvero dalla chiralità del sistema di coordinate ortogonali (i, j, k).

Un modo semplice per determinare il verso del prodotto vettore è la «regola della mano destra». In un sistema destrogiro si punta il pollice nella direzione del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un sistema di riferimento sinistrogiro basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare la mano sinistra.

Un altro semplice metodo è quello della "vite destrorsa". In un sistema destrogiro si simula il movimento di avvitatura o di svitatura di una vite destrorsa; guardato dall'alto, se ruotando il primo vettore verso il secondo la rotazione è oraria, la vite verrà avvitata e quindi il verso del vettore sarà rivolto verso il basso; viceversa, se si compie una rotazione antioraria, la vite sarà svitata ed il verso del vettore sarà rivolto verso l'alto.

Poiché il prodotto vettore dipende dalla scelta del sistema di coordinate, o più propriamente perché in una formalizzazione rigorosa il prodotto vettoriale tra due vettori non appartiene allo spazio di partenza, ci si riferisce ad esso come uno pseudovettore. Sono ad esempio degli pseudovettori (detti anche vettori assiali) il momento angolare, la velocità angolare, il campo magnetico.

Il modulo del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori a e b ed è pari a

$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |= {a}\, {b} \, \mathrm{{sen}} \, {\theta}$

infatti, b sen θ è la misura dell'altezza se si fissa a come base, e viceversa a sen θ è la misura dell'altezza se si fissa b come base.

Proprietà

Proprietà algebriche

• è bilineare cioè, dati tre vettori a,b e c aventi pari dimensione e uno scalare k:

$(k\mathbf{a})\times\mathbf{b} = k(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (\mathbf{a}\times k\mathbf{b})$

$(\mathbf{a}+\mathbf{c})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{c}\times\mathbf{b}$ (distributivo rispetto all'addizione)

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c}$

• $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}$ ⇔ linearmente dipendenti, quindi se non sono nulli ⇔ sono paralleli.

($\mathbf{a}\times\mathbf{a} = \mathbf{0}$)

• è antisimmetrico: anticommutativo (non gode della proprietà commutativa)

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$

• il prodotto vettoriale non è un prodotto vero e proprio perché non è associativo

• soddisfa l'identità di Jacobi:

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times\mathbf {c}) +\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times\mathbf {a}) +\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\mathbf{0}$

La proprietà distributiva, la linearità e l'identità di Jacobi fanno sì che $(\mathbb{R}^3,+,\times)$ sia un'algebra di Lie.

I versori (o vettori unimodulari della base canonica) i, j, e k relativi ad un sistema cartesiano di coordinate ortogonali in $\mathbb{R}^3$ soddisfano le seguenti equazioni:

i × j = k           j × k = i           k × i = j.

Notazione matriciale

Dato il generico vettore algebrico in $\mathbb{R}^3$

$\begin{bmatrix} {x} \\ {y} \\ {z} \\ \end{bmatrix}$

il prodotto vettoriale di tale vettore per un altro vettore può essere espresso come il prodotto tra la matrice

$\begin{bmatrix} {0} & {-z} & {y} \\ {z} & {0} & {-x} \\ {-y} & {x} & {0} \\ \end{bmatrix}$

e il secondo vettore.

Sia

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

e

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃].

Allora

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

Si noti che non si è dovuto calcolare alcun angolo.

La suddetta notazione per componenti può essere scritta formalmente come il determinante di una matrice con un abuso di notazione:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix} = \left ( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \mathbf{i} - \left ( a_1 b_3 - a_3 b_1 \right) \mathbf{j} + \left ( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \mathbf{k} = \begin{bmatrix} {a_2 b_3 - a_3 b_2} \\ {a_3 b_1 - a_1 b_3} \\ {a_1 b_2 - a_2 b_1} \\ \end{bmatrix}$

Il determinante di tre vettori può essere ottenuto come:

det (a, b, c) = a · (b × c).

Intuitivamente, il prodotto vettoriale può essere descritto dalla regola di Sarrus per il calcolo dei determinanti.

Notazione con indici

Il prodotto vettoriale può essere definito in termini del tensore di Levi-Civita $\varepsilon_{ijk}$

$\mathbf{a \times b} = \mathbf{c}\Leftrightarrow\ c_k = \varepsilon_{ijk} a_i b_j$

dove gli indici $i,j,k$ sono le componenti ortogonali del vettore, usando la convenzione di Einstein.

Formula di Lagrange

Questa identità riguarda il doppio prodotto vettoriale:

a × (b × c) = b(a · c)− c(a · b),

che si può ricordare facilmente come "BAC (diploma in francese) meno CAB (taxi in inglese)".

Un'applicazione notevole nel calcolo differenziale riguarda l'equivalenza tra il rotore doppio e la differenza fra il gradiente della divergenza e il laplaciano:

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - \nabla^2 \mathbf{f}. \end{matrix}$

che si può facilmente ricordare come "gra-diva almeno un gelatino?" (dalla forma grafica del laplaciano), oppure come "il gradiente diverge(nza) se non c'è (meno) il laplaciano".

Un'altra utile identità di Lagrange è

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$

che si può facilmente ricordare come "punto e croce" (dalle forme grafiche dei prodotti scalare e vettoriale). Questo è un caso speciale delle moltiplicazione $|vw| = |v| |w|$ della norma nell'algebra dei quaternioni.

Estensioni multidimensionali

Un prodotto esterno per vettori 7-dimensionali può essere ottenuto similmente utilizzando gli ottonioni invece dei quaternioni. Invece non possono esistere altre estensioni del prodotto vettoriale, e ciò è collegato al fatto che le sole algebre di divisione normate sono quelle con dimensioni 1,2,4 e 8.

Simboli

Il prodotto vettoriale × è rappresentato come:

• × in HTML
• \times in LaTeX
• U+00D7 in Unicode
• alt sx + 0215 (da tastierino numerico) in ambiente windows

Voci correlate

• Operazione binaria
• Operazione interna
• Regola della mano destra
• Prodotto scalare
• Prodotto misto
• Orientazione
• Rotore
• Divergenza

Collegamenti esterni

• www.lorenzoroi.net

Altri progetti

• Wikizionario

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