Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il numero di soluzioni di un sistema di equazioni lineari in funzione del rango di alcune matrici.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice.

Il teorema

Un sistema di equazioni lineari:

$\left\{ \begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\ \end{matrix} \right.$

può essere descritto usando la matrice:

$(A|\mathbf b) = \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right| \left. \begin{matrix} b_1\\ \vdots \\b_m\end{matrix}\right)$

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice $A$ dei coefficienti e di un'ulteriore colonna $\mathbf b$, detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A|\mathbf b)$ sono dette rispettivamente incompleta e completa. I coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) sono elementi di un campo $K$, quale ad esempio quello dei numeri reali $\R$ o complessi $\C$.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

$\operatorname{rk}(A|\mathbf b) = \operatorname{rk}(A|\mathbf 0)$

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^n$ di dimensione $n - \operatorname{rk}(A)$. In particolare, se il campo $K$ è infinito si ha che se $\operatorname{rk}(A) = n$ allora la soluzione è unica, altrimenti ci sono infinite soluzioni.

Dimostrazione

Il sistema può essere descritto in modo più stringato, introducendo il vettore delle coordinate:

$\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

$A \mathbf x = \mathbf b$

In altre parole, $\mathbf b$ è l'immagine del vettore $\mathbf x$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_A : K^n \to K^ m$ associata alla matrice dei coefficienti:

$L_A(\mathbf x) = A \mathbf x$

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $\mathbf b$ è l'immagine di un qualche vettore $\mathbf x$ di $K^n$, ovvero se è nell'immagine di $L_A$. Del resto l'immagine di $L_A$ è generata dai vettori dati dalle colonne di $A$. Quindi $\mathbf b$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $b$, cioè se e solo se lo span delle colonne di $A$ è uguale allo span delle colonne di $(A|\mathbf b)$. Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione $\mathbf x_0$, ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf x_0 + \mathbf v$, dove $\mathbf v$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:

$A \mathbf v=0\,\!$

Infatti:

$A(\mathbf x_0 + \mathbf v) = A \mathbf x_0 +A \mathbf v = \mathbf b + \mathbf 0 = \mathbf b \$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf x_0$, è quindi il sottospazio affine dato da:

$\operatorname{Sol}(A|\mathbf b) = \mathbf x_0 + \operatorname{Sol}(A|\mathbf 0)$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione $L_A$, e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione $n - \rho(A)$. Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $x$, è un sottospazio affine della stessa dimensione.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9
• F. Odetti; M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992. ISBN 88-7545-717-4

Voci correlate

• Teorema della dimensione

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