Teorema di Rouché-Capelli

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Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango di alcune matrici.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

Il teorema di Rouché-Capelli[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:


\left\{
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\
\end{matrix}
\right.

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo  K , quale ad esempio quello dei numeri reali  \R o complessi  \C .

Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:

(A|\mathbf b) = \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right| \left. \begin{matrix}  b_1\\ \vdots \\b_m\end{matrix}\right)

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice  A dei coefficienti e di un'ulteriore colonna \mathbf b , detta colonna dei termini noti. Le matrici  A e  (A|\mathbf b) sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

\operatorname{rk}(A|\mathbf b) = \operatorname{rk}(A|\mathbf 0)

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di  K^n di dimensione  n - \operatorname{rk}(A) . In particolare, se il campo  K è infinito si ha che se  \operatorname{rk}(A) = n allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.[1]

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:

 \mathbf x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

A \mathbf x = \mathbf b

Questa relazione dice che un vettore noto \mathbf b si vuole sia l'immagine di un vettore incognito \mathbf x ottenuta mediante l'applicazione lineare  L_A : K^n \to K^ m associata alla matrice dei coefficienti:

 L_A(\mathbf x) = A \mathbf x

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se  \mathbf b è l'immagine di almeno un vettore  \mathbf x di  K^n , ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di  L_A . Si osserva che l'immagine di  L_A è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di  A . Quindi \mathbf b è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di  A contiene  b , cioè se e solo se lo span delle colonne di  A è uguale allo span delle colonne di  (A|\mathbf b) . Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione  \mathbf x_0 , ogni altra soluzione si scrive come  \mathbf x_0 + \mathbf v , dove  \mathbf v è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:[2]

A \mathbf v=0

Infatti:

 A(\mathbf x_0 + \mathbf v) = A \mathbf x_0 +A \mathbf v = \mathbf b + \mathbf 0 = \mathbf b \

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore \mathbf x_0 , è quindi il sottospazio affine dato da:

\operatorname{Sol}(A|\mathbf b) = \mathbf x_0 + \operatorname{Sol}(A|\mathbf 0)

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.[3]

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione  L_A , e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione  n - \rho(A) . Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore  x , è un sottospazio affine della stessa dimensione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Il fatto che le soluzioni formano un sottospazio affine di dimensione  n - \operatorname{rk}(A) si esprime anche dicendo che queste hanno  n - \operatorname{rk}(A) gradi di libertà. Alcuni testi sintetizzano questo fatto scrivendo, con abuso di notazione, che ci sono \infty^{n - \operatorname{rk}(A)} soluzioni.
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 177
  3. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 178

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 01-353-6821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

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