Matrice antisimmetrica

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In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata A la cui trasposta è anche la sua opposta, ovvero:

A^t = -A

In termini dei suoi elementi a_{i,j}, per ogni i e j vale:

a_{i,j} = -a_{j,i}

Per esempio, la matrice:

\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{pmatrix}

è antisimmetrica.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Diagonale principale[modifica | modifica sorgente]

Tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione a_{i,i} = -a_{i,i}. In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.

Determinante[modifica | modifica sorgente]

Se A è una matrice antisimmetrica di ordine n, il suo determinante soddisfa:

\det (A) = \det (A^t) = \det (-A) = (-1)^n \det (A)

In particolare, se n è dispari il determinante è zero. Se n è pari, invece, il determinante di A è il quadrato di un polinomio Pf(A) (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di A:

\det(A) = Pf(A)^2

Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale sono numeri immaginari puri, e a ogni autovalore corrisponde l'autovalore coniugato, con la stessa molteplicità. Pertanto \det(A), essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è un prodotto di numeri reali positivi.

Matrici simmetriche e antisimmetriche[modifica | modifica sorgente]

Per ogni matrice quadrata A, la matrice T=A-A^t è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice S=A+A^t è una matrice simmetrica.

È possibile (se A ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere A come:

A=(S+T)/2= {1\over 2} S+ {1\over 2} T

ovvero come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di A in questo caso è:

A^t=(S-T)/2

Teoria spettrale[modifica | modifica sorgente]

Se una matrice antisimmetrica A ha un autovalore \lambda allora ha anche un autovalore -\lambda. Ovvero, se:

A v = \lambda v

allora v^tA^t=\lambda v^t, quindi:

v^tA=-v^tA^t=-\lambda v^t

In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie (\lambda,-\lambda), eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.

Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma \pm i\lambda_i, con \lambda_i reale.

Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica A in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale R (con R^t=R^{-1}), ovvero in modo che \Sigma_n=R^{-1}AR=R^tAR sia di una delle due forme:

\Sigma_{2r}=\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & \lambda_1 \\ -\lambda_1 & 0 \end{bmatrix} & O & \cdots & O \\
O & \begin{bmatrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{bmatrix} &  & O \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
O & O & \cdots & \begin{bmatrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
\qquad
\Sigma_{2r+1}=\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}\Sigma_{2r}\end{bmatrix} & O \\
O & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}
\end{pmatrix}

con autovalori \pm i\lambda_k (più un autovalore 0 se n è dispari).

Forme alternanti[modifica | modifica sorgente]

Una forma alternante (o antisimmetrica) \varphi su uno spazio vettoriale V sopra un campo K (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare \varphi : V \times V \to K tale che:

\varphi(v,w) = - \varphi(w,v)

Ogni forma alternante \varphi viene rappresentata da una matrice antisimmetrica A su una base di V, \varphi(v,w)=v^tAw, e viceversa.

Rotazioni infinitesimali[modifica | modifica sorgente]

Le matrici antisimmetriche di ordine n con elementi in un campo K sono uno spazio vettoriale su K di dimensione n(n − 1)/2, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale O(n) nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da rotazioni infinitesimali.

Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie o(n) del gruppo di Lie O(n). La parentesi di Lie su di esso è il commutatore  [A,B] = AB - BA , che è antisimmetrico:

(AB-BA)^t=B^tA^t-A^tB^t=BA-AB

Inoltre, la matrice esponenziale R=\exp(A) di una matrice antisimmetrica A è una matrice ortogonale:

R^t=\mathrm e^{A^t}=\mathrm e^{-A}=(\mathrm e^{A})^{-1}=R^{-1}

Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di O(n), il gruppo ortogonale speciale SO(n), e ogni rotazione R ha determinante 1. In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante 1) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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