Matrice antisimmetrica

In matematica una matrice antisimmetrica (o emisimmetrica) A è una matrice quadrata la cui trasposta è anche la sua opposta, ovvero $A^t \,=\, -A$

In termini di componenti, se $A=(a_{i,j})$ allora per ogni $i$ e $j$ vale $a_{i,j} = -a_{j,i}$.

Per esempio, è antisimmetrica la matrice

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix}$

Proprietà

Diagonale principale

Tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero ($a_{i,i} = -a_{i,i}$); in particolare una matrice antisimmetrica ha traccia zero.

Determinante

Se A è una matrice antisimmetrica di ordine n, il suo determinante soddisfa

$\det (A) = \det (A^t) = \det (-A) = (-1)^n \det (A)$.

In particolare, se n è dispari il determinante è zero.

Se n è pari, invece, il determinante di A è il quadrato di un polinomio Pf(A) (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di A:

det(A) = Pf(A)². Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti (v. sotto) gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale sono numeri immaginari puri, e a ogni autovalore corrisponde l'autovalore coniugato, con la stessa molteplicità. Pertanto det(A), essendo il prodotto degli autovalori, ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità, se non è zero è un prodotto di numeri reali positivi.

Matrici simmetriche e antisimmetriche

Per ogni matrice quadrata A, la matrice $T=A-A^t$ è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice $S=A+A^t$ è una matrice simmetrica.

È possibile (se A ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere A come A=(S+T)/2=½S+½T, ovvero come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di A in questo caso è A^t=(S-T)/2=½S-½T

Teoria spettrale

Se una matrice antisimmetrica A ha un autovalore λ allora ha anche un autovalore -λ:

se Av=λv allora $v^tA^t=\lambda v^t$, quindi $v^tA=-v^tA^t=-\lambda v^t$.

In particolare gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie (λ,-λ), eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore 0.

Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma ±iλ_i, con λ_i reale.

Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica A in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale R (con R^t=R^-1), ovvero in modo che $\Sigma_n=R^{-1}AR=R^tAR$ sia di una delle due forme

$\Sigma_{2r}=\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \lambda_1 \\ -\lambda_1 & 0 \end{bmatrix} & O & \cdots & O \\ O & \begin{bmatrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{bmatrix} & & O \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \begin{bmatrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{bmatrix} \end{pmatrix} \qquad \Sigma_{2r+1}=\begin{pmatrix} \begin{bmatrix}\Sigma_{2r}\end{bmatrix} & O \\ O & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{pmatrix}$

con autovalori ±iλ_k (più un autovalore 0 se n è dispari).

Forme alternanti

Una forma alternante (o antisimmetrica) φ su uno spazio vettoriale V sopra un campo K (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare

φ : V × V → K   tale che φ(v,w) = −φ(w,v) .

Ogni forma alternante φ viene rappresentata da una matrice antisimmetrica A su una base di V, $\varphi(v,w)=v^tAw$, e viceversa.

Rotazioni infinitesimali

Le matrici antisimmetriche di ordine n con elementi in un campo K sono uno spazio vettoriale su K di dimensione n(n − 1)/2, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale O(n) nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da rotazioni infinitesimali.

Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie o(n) del gruppo di Lie O(n). La parentesi di Lie su di esso è il commutatore $[A,B] = AB - BA$, che è antisimmetrico:

$(AB-BA)^t=B^tA^t-A^tB^t=BA-AB$

Inoltre, la matrice esponenziale $R=\exp(A)$ di una matrice antisimmetrica A è una matrice ortogonale:

$R^t=\mathrm e^{A^t}=\mathrm e^{-A}=(\mathrm e^{A})^{-1}=R^{-1}$

Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di O(n), il gruppo ortogonale speciale SO(n), e ogni rotazione R ha determinante 1. In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante 1) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.

Voci correlate

• Matrice simmetrica
• Matrice antihermitiana
• Matrice simplettica
• Glossario sulle matrici

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