Pfaffiano

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In matematica, e più specificamente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice.

Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice. Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo  2n\times 2n , è un polinomio di grado  n .

Esempi[modifica | modifica sorgente]

\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Sia π l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di {1, 2, …, 2n}. Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente (2n − 1)!!. Una partizione può essere scritta come

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

con ik < jk e i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Associamo ad α la permutazione

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

e sia sgn(α) il suo segno.

Sia A = {aij} una matrice antisimmetrica 2n×2n . Data una partizione α definiamo il valore

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Possiamo infine definire lo Pfaffiano di A come

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica n×n con n dispari è per definizione nullo.

Definizione alternativa[modifica | modifica sorgente]

È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica 2nx2nn A = {aij} un bivettore

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

dove {e1, e2, …, e2n} è la base usuale di' R'2n. Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione

\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},

dove ωn rappresenta il prodotto vettoriale di ω n volte con sé stesso.

Identità[modifica | modifica sorgente]

Per una matrice antisimmetrica 2n × 2n A ed una generica matrice 2n × 2n B,

  • \mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)
  • \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)
  • Per una matrice diagonale a blocchi
A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}
Si ha Pf(A1A2) = Pf(A1)Pf(A2).
  • Per una matrice arbitraria n × n denominata M:
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\ -M^T & 0  \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet

Storia[modifica | modifica sorgente]

Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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