Pfaffiano

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In matematica, e più specificamente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice. Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice.

Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo  2n\times 2n , è un polinomio di grado  n .

Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia \pi l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di \{1, 2, \dots , 2n \}. Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente (2n-1)!!. Una partizione può essere scritta come:

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

con i_k < j_k e i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Associando ad \alpha la permutazione:

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

sia \operatorname{sgn}(\alpha) il suo segno. Sia inoltre A = \{ a_{ij} \} una matrice antisimmetrica 2n \times 2n. Data una partizione \alpha, si definisce il valore:

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}

Si può definire lo Pfaffiano di A come:

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha

Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica n \times n, con n dispari, è per definizione nullo.

Definizione ricorsiva[modifica | modifica wikitesto]

Per convenzione lo Pfaffiano della matrice 0\times 0 è 1. Lo Pfaffiano di una matrice A = \{a_{ij} \} antisimmetrica 2n\times 2n con n>0 può essere calcolato ricorsivamente come

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{i=2}^{2n}(-1)^{i}a_{1i}\operatorname{Pf}(A_{\hat{1}\hat{i}}),

dove A_{\hat{1}\hat{i}} indica la matrice A a cui sono state rimosse le righe e le colonne 1 ed i.

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica A = \{a_{ij} \} di dimensione 2n \times 2n un bivettore:

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j

dove \{e_1, e_2,\dots, e_{2n} \} è la base usuale di \R^n. Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione:

\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n}

dove \omega^n rappresenta il prodotto vettoriale di \omega con sé stesso n volte.

Identità[modifica | modifica wikitesto]

Per una matrice antisimmetrica A = \{a_{ij} \} di dimensione 2n \times 2n ed una generica matrice B = \{a_{ij} \} anch'essa di dimensione 2n \times 2n, si ha:

  • \mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)
  • \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)

Per una matrice diagonale a blocchi del tipo:

A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}

Si ha:

\mbox{Pf}(A_1 \oplus A_2) = \mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2)

Per una matrice arbitraria 2n \times 2n denotata con M:

\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\ -M^T & 0  \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M

Se A dipende da qualche variabile x_i allora il gradiente dello Pfaffiano è dato da:

\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right)

mentre l'hessiana di uno Pfaffiano è data da:

\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial^2\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial^2 A}{\partial x_i\partial x_j}\right)-\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right)+\frac{1}{4}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right)\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right)

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}=a
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, revised, 1997, p. 182, ISBN 0-14-026149-4.
  • (EN) Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, Macmillan and Co., 1882. Online

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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