Congruenza fra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza tra matrici. Si tratta di una relazione utilizzata in particolare nello studio delle forme bilineari, come ad esempio i prodotti scalari, dal momento che, dato uno spazio vettoriale, due matrici si dicono congruenti se rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a due basi diverse dello spazio.

Definizione

Due matrici quadrate $A$ e $B$, a valori in un campo $K$, sono congruenti se esiste una matrice invertibile $P$ tale che

$P^T A P = B \,\!$

dove $P^T$ è la matrice trasposta di $P$.

Prodotti scalari

La relazione di congruenza è solitamente studiata fra matrici simmetriche, in quanto due prodotti scalari sono isometrici se e solo se sono rappresentati da matrici congruenti (rispetto a basi qualsiasi).

Più formalmente, se $\phi_1,\phi_2$ sono prodotti scalari e $B_1, B_2$ sono due basi qualsiasi, e $A_i$ è la matrice che rappresenta $\phi_i$ rispetto a $B_i$ per ogni $i=1,2$, allora $\phi_1$ e $\phi_2$ sono isometrici se e solo se $A_1$ e $A_2$ sono congruenti.

Teorema di Sylvester

Per approfondire, vedi la voce teorema di Sylvester.

Nel caso in cui il campo $K$ sia il campo dei numeri reali o complessi, il teorema di Sylvester fornisce un invariante completo che caratterizza completamente le classi di equivalenza di matrici simmetriche congruenti.

Nel caso reale, tale invariante è la segnatura, definita nel modo seguente: è una terna di numeri $(i_+, i_-, i_0)$, indicanti rispettivamente il numero di autovalori reali positivi, negativi e nulli della matrice. Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica è diagonalizzabile e quindi la somma $i_++i_-+i_0$, pari al numero totale di autovalori, è pari al numero di righe della matrice.

Congruenza per forme hermitiane

Se $K$ è il campo dei numeri complessi, è possibile definire una nozione di congruenza lievemente differente: secondo questa definizione, due matrici sono congruenti se esiste una $P$ invertibile con

$\bar P^T A P = B$

dove $\bar P^T$ è la matrice trasposta coniugata di $P$. Questa definizione è utile per le matrici hermitiane: in questo contesto, due matrici hermitiane rappresentano forme hermitiane rispetto ad alcune basi, e analogamente a quanto visto prima le forme sono isometriche se e solo se le matrici sono congruenti.

Voci correlate

• Similitudine fra matrici
• Prodotto scalare
• Teorema di Sylvester
• Segnatura
• Equivalenza sinistra-destra tra matrici

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