Regola di Cramer

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La regola di Cramer o metodo di Cramer è un teorema di algebra lineare, che prende il nome dal matematico Gabriel Cramer, utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.

Come algoritmo di calcolo è inefficiente. Pertanto, può essere effettivamente utilizzato solo per risolvere sistemi di poche equazioni. Tuttavia, esso è di grande importanza teorica in quanto dà un'espressione esplicita per la soluzione del sistema.

La regola[modifica | modifica sorgente]

Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato usando moltiplicazione fra matrici come:

Ax = c

dove  A è una matrice e  x ,  c sono due vettori. Se  A è una matrice quadrata (cioè il numero di incognite del sistema è pari al numero di equazioni) ed è anche invertibile (determinante diverso da zero cioè rango della matrice uguale al numero di incognite), il teorema di Rouché-Capelli asserisce che il sistema ha esattamente una soluzione.

In questo caso, la regola di Cramer fornisce un algoritmo per calcolare la soluzione  (x_1,\ldots, x_n) usando il determinante nel modo seguente:

x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}

dove A_i è la matrice formata sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore c. Si nota che la condizione di invertibilità di  A garantisce che il denominatore  \det(A) sia diverso da zero, e quindi che l'espressione descritta abbia sempre senso.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione tiene conto di due proprietà dei determinanti:

  • Se si somma una colonna a un'altra, il valore del determinante non cambia;
  • Se si moltiplica ogni elemento di una colonna per un certo fattore, il determinante risulterà moltiplicato di altrettanto.

Dato un sistema di n equazioni lineari in n variabili x_1, x_2,\ldots,x_n:

\left\{
\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\
 & \vdots & \\
 a_{n,1}x_1 +a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,n}x_n & = & b_n\end{matrix}
\right.

La regola di Cramer fornisce, per il valore di x_1, l'espressione:

\frac{\det\left|\begin{matrix}b_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\b_2&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_n&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\det\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}

che può essere verificata adoperando le suddette proprietà del determinante. Infatti, stando al sistema, il quoziente riportato è equivalente a:

\frac{\det\left|\begin{matrix}(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\det\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}

Sottraendo dalla prima colonna la seconda moltiplicata per x_2, la terza colonna moltiplicata per x_3 ecc., e la n-sima colonna moltiplicata per x_n, si ottiene l'espressione:

\frac{\det\left|\begin{matrix}a_{11}x_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}x_1&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}x_1&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\det\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}

e, stando alla seconda proprietà del determinante, questo equivale a:

\frac{x_1\det\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\det\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}=x_1

Allo stesso modo, se la colonna di b si trova al posto della k-sima colonna della matrice del sistema di equazioni, il risultato sarà uguale a x_k. Pertanto si ottiene:

x_1=\frac{\det\left|\begin{matrix}b_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\b_2&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_n&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|}{\det\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|},\ \ x_2 = \frac{\det\left| \begin{matrix} a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn} \end{matrix} \right|}{\det \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{matrix} \right|},\ \ \ldots, \ \ x_n = \frac{\det \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & b_{n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & b_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_{n} \end{matrix} \right|}{ \det \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{matrix} \right|}

Interpretazione geometrica[modifica | modifica sorgente]

Interpretazione geometrica della regola di Cramer. Le aree del secondo e terzo parallelogramma sono uguali, mentre l'area del secondo è x_1 volte quella del primo. Da tale uguaglianza segue la regola.

La regola di Cramer può essere mostrata utilizzandone l'interpretazione geometrica. Si consideri il caso di due equazioni in due incognite:

\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2\end{matrix}

che si può vedere come un'equazione tra vettori:

x_1\binom{a_{11}}{a_{21}}+x_2\binom{a_{12}}{a_{22}}=\binom{b_1}{b_2}

L'area del parallelogramma determinato da:

\binom{a_{11}}{a_{21}} \quad ; \quad \binom{a_{12}}{a_{22}}

è data dal determinante del sistema:

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right|

In generale, quando vi sono più equazioni di più variabili, il determinante di n vettori di lunghezza n fornisce il volume del parallelepipedo che essi formano nello spazio euclideo di dimensione n. Quindi, l'area del parallelogramma determinato da:

x_1\binom{a_{11}}{a_{21}} \quad ; \quad \binom{a_{12}}{a_{22}}

deve anche essere x_1 volte l'area del primo, dal momento che uno dei lati è stato moltiplicato per tale fattore. Quest'ultimo parallelogramma ha, per il principio di Cavalieri, la stessa area del parallelogramma formato da:

\binom{b_1}{b_2}=x_1\binom{a_{11}}{a_{21}}+x_2\binom{a_{12}}{a_{22}} \quad ; \quad \binom{a_{12}}{a_{22}}

Uguagliando le aree dell'ultimo e del secondo parallelogramma si ottiene l'equazione:

\left|\begin{matrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a_{11}x_1&a_{12}\\a_{21}x_1&a_{22}\end{matrix}\right|=x_1\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right|

da cui segue la regola di Cramer.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Due per due[modifica | modifica sorgente]

Un sistema con 2 equazioni e 2 incognite:

\begin{array}{l} ax + by = {\color{red}e} \\ cx + dy = {\color{red}f}\end{array}

espresso in forma matriciale come:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}

ha un'unica soluzione se e solo se il determinante di:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

è diverso da zero. In questo caso, la soluzione  (x,y) è data da:

x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}
y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}

Tre per tre[modifica | modifica sorgente]

Analogamente, un sistema con 3 equazioni e 3 incognite:

\left\{ \begin{matrix} ax + by + cz = {\color{red}j} \ \\ dx + ey + fz = {\color{red}k} \ \\ gx + hy + iz = {\color{red}l} \ \end{matrix}\right.

può essere scritto come prodotto fra matrici e vettori nel modo seguente:

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

Se la matrice  3\times 3 ha determinante diverso da zero, il sistema ha una sola soluzione (x,y,z) data da:

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} } \qquad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} } \qquad z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }

Applicazioni alla geometria differenziale[modifica | modifica sorgente]

La regola di Cramer è estremamente utile per scrivere delle formule in geometria differenziale. Ad esempio, date due equazioni:

F(x, y, u, v) = 0 \qquad  G(x, y, u, v) = 0

in quattro variabili, due delle quali dipendono dalle altre nel modo seguente:

x = X(u, v) \qquad y = Y(u, v)

è possibile calcolare (ipotizzando che tutte queste funzioni siano sufficientemente derivabili):

\partial x/\partial u

usando la regola di Cramer, nel modo seguente.

Prima si calcolino le prime derivate di F, G, x ed y:

dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0
dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0
dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv
dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv

Sostituendo dx, dy in dF e in dG, si ha:

 dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0
 dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0

Poiché u, v sono entrambe indipendenti, i coefficienti di du, dv devono essere zero. Così si possono scrivere le equazioni per i coefficienti:

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}

Ora, dalla regola di Cramer, si vede che:


\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}

Questa è ora una formula in termini di due Jacobiane:

\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}

Formule simili possono essere derivate per \partial x / \partial v, \partial y / \partial u e \partial y / \partial v.

Problemi nell'applicazione[modifica | modifica sorgente]

Come accennato nell'introduzione, il metodo di Cramer è adatto per la risoluzione di sistemi lineari di dimensione N \times N, solo se N è piccolo. In pratica, il metodo richiede il calcolo di N+1 determinanti N \times N. Applicando la regola di Leibnitz, ciascuno di questi richiede N! moltiplicazioni, per un totale di (N+1)! moltiplicazioni. Un numero che diventa rapidamente enorme al crescere di N. Un calcolatore che esegue un milione di moltiplicazioni al secondo impiegherebbe circa otto mesi per risolvere un sistema lineare di 15 equazioni, che diventerebbero un numero enorme di anni se le equazioni fossero 20.

In alternativa, gli N+1 determinanti possono essere calcolati tramite l'algoritmo di Gauss che è estremamente più veloce, O (N^3) moltiplicazioni. Però, questo è un sottoprodotto del metodo di eliminazione di Gauss per la soluzione di un sistema lineare associato alla stessa matrice. Quindi, è molto più rapido risolvere il sistema lineare di partenza utilizzando direttamente il metodo di Gauss una sola volta.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Colin MacLaurin, A Treatise of Algebra, in Three Parts., 1748.
  • (EN) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd, Wiley, 1968, pp. 431.
  • (EN) Victor Katz, A History of Mathematics, Brief, Pearson Education, 2004, pp. 378–379.
  • (EN) Bruce A. Hedman, An Earlier Date for "Cramer's Rule" in Historia Mathematica, 4(26), n. 4, 1999, pp. 365–368. DOI:10.1006/hmat.1999.2247.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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