Matrice unitaria

In matematica, una matrice unitaria n × n è una matrice complessa U che soddisfa la condizione:

$U^\dagger U = U U^\dagger = I_n \$

dove I_n è la matrice identità n × n e $U^\dagger$ è la trasposta coniugata (ovvero la aggiunta hermitiana) della U. Si noti che la precedente uguaglianza equivale a dire che una matrice U è unitaria se possiede una inversa uguale alla sua coniugata trasposta $U^\dagger$.

Una matrice unitaria avente tutte le entrate reali è una matrice ortogonale. Come ogni matrice ortogonale G conserva il prodotto interno (reale) di due vettori reali:

$\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle~,$

anche ogni matrice unitaria U soddisfa l'uguaglianza più generale

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$

per tutti i vettori complessi x e y, dove <.,.> indica il prodotto hermitiano standard. Una matrice è unitaria se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio rispetto a questo prodotto interno.

Tutti gli autovalori di una matrice unitaria sono numeri complessi di valore assoluto 1 (cioè stanno sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine del piano complesso). La stessa cosa è vera per il determinante.

Tutte le matrici unitarie sono normali: quindi possiamo applicare ad esse il teorema spettrale.

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice ortogonale
• Matrice nulla
• Matrice simplettica
• Gruppo unitario
• Operatore unitario

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