Matrice unitaria

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In matematica, una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa U che soddisfa la condizione:

U^\dagger U = U U^\dagger = I

dove I è la matrice identità e U^\dagger è la matrice trasposta coniugata di U.

La definizione equivale a dire che una matrice U è unitaria se è invertibile e la sua inversa U^{-1} è uguale alla sua coniugata trasposta:

U^{-1} = U^\dagger

Una matrice è inoltre unitaria se è una matrice normale con autovalori sul cerchio unitario, oppure se è un'isometria rispetto alla norma usuale. Una matrice unitaria avente tutti gli elementi reali è una matrice ortogonale.

Le matrici unitarie sono gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali (costituiscono quindi un caso particolare).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Le matrici unitarie soddisfano le seguenti proprietà:

  • Ogni matrice unitaria U soddisfa l'uguaglianza:
\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle
per tutti i vettori complessi x e y, dove \langle , \rangle indica il prodotto hermitiano standard.

Una matrice è unitaria se e solo se le sue colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale dello spazio rispetto al prodotto hermitiano standard. Per mostrare l'implicazione diretta, se si suppone che U è unitaria allora U^\dagger U = U U^\dagger = I_n \ . Sia quindi c_i un suo vettore colonna (o vettore riga) corrispondente alla i-esima colonna, e sia:

(U^\dagger U)_{ij} = \begin{bmatrix}
c_1^\dagger c_1 & c_1^\dagger c_2 & \cdots & c_1^\dagger c_n \\
c_2^\dagger c_1 & c_2^\dagger c_2 & \cdots & c_2^\dagger c_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_n^\dagger c_1 & c_n^\dagger c_2 & \cdots & c_n^\dagger c_n \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} = I_n

Vedendo questa matrice come prodotto interno, cioè (U^\dagger U)_{ij} = \langle c_i, c_j \rangle , si ha che:

  • se  i = j allora  \langle c_i, c_j \rangle = \langle c_i, c_i \rangle = 1 , ma allora  \| c_i \| = 1 .
  • se  i \ne j , allora  \langle c_i, c_j \rangle = 0 , ma allora  c_i è ortogonale ad  c_j .

Essendo contemporaneamente ortogonale e di norma unitaria significa che U è una base ortonormale.

Per mostrare l'implicazione inversa, si supponga che le colonne (o le sue righe) formano una base ortonormale dello spazio rispetto al prodotto interno. Se le colonne (o le righe) di U sono ortonormali allora significa che  \langle c_i, c_j \rangle = 0 ad eccezione di quando  i = j , dove si ha  \langle c_i, c_j \rangle = 1 . Si ha quindi:

U_{ij} = (U U^\dagger)_{ij} = (U^\dagger U)_{ij} = 
\begin{cases}c_i^\dagger c_j = 1 & \mathrm{se} ~ i = j \\
             c_i^\dagger c_j = 0 & \mathrm{se} ~ i \ne j\end{cases}

Ma questa è proprio la definizione di matrice identità  I_n , che è unitaria.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. 63
  • (EN) W.H. Greub, Linear algebra , Springer (1975) pp. 329

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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