Operatore unitario

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In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedono tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su \R^n.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si definisce operatore unitario un isomorfismo  U: \mathcal{H}_{1} \rightarrow \mathcal{H}_{2} tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:[1]

 (\phi , \psi)=(U\phi , U\psi) \qquad \forall \phi , \psi \in \mathcal{H}_{1}

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=1

dove si indica con  U^{\dagger} l'aggiunto dell'operatore U.

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

\|U\|=1

In spazi vettoriali a dimensione finita la surgettivita è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro[modifica | modifica sorgente]

Lo spettro di un operatore unitario U giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero \lambda \in \C nello spettro si ha | \lambda |= 1. Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che U è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione f \in L^2(\mu) misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito (X,\mu) con misura di Borel \mu. Allora, dal momento che U U^{\dagger} = I implica |f(x)|^2 = 1 quasi ovunque rispetto a \mu, lo spettro essenziale di f, e dunque lo spettro di U, è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità[modifica | modifica sorgente]

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

 \langle \lambda\cdot Ux-U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot Ux-U(\lambda\cdot x) \rangle
  = \| \lambda \cdot Ux \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \langle U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot Ux \rangle - \langle \lambda\cdot Ux, U(\lambda\cdot x) \rangle
 = |\lambda|^2 \cdot \| Ux \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle U(\lambda\cdot x), Ux \rangle - \lambda\cdot \langle Ux, U(\lambda\cdot x) \rangle
 = |\lambda|^2 \cdot \| x \|^2 + \| \lambda \cdot x \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle \lambda\cdot x, x \rangle - \lambda\cdot \langle x, \lambda\cdot x \rangle
 = 0

In modo analogo si ottiene:

\langle U(x+y)-(Ux+Uy), U(x+y)-(Ux+Uy) \rangle = 0

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 39

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
  • (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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