Spazio di Hilbert

Il matematico David Hilbert.

In matematica uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo; il suo ruolo è cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica.

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebre matematico David Hilbert all'inizio del XX secolo, e hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale e armonica. L'interesse della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto che essa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli spazi euclidei in spazi di funzioni infinito dimensionali. Grazie agli spazi di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi arbitrarie.

Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spazio vettoriale), su cui è definito un prodotto scalare (in particolare, quindi, è possibile parlare di distanze, angoli, ortogonalità), e tale che sia garantita la completezza (ossia, che non vi siano dei comportamenti patologici nel processo di passaggio al limite). Nelle applicazioni, gli elementi di uno spazio di Hilbert (vettori) sono spesso successioni di numeri complessi o funzioni.

In meccanica quantistica uno stato fisico può essere rappresentato da un elemento (vettore o ket) o da una opportuna combinazione lineare di elementi dello spazio di Hilbert. Lo stato fisico contiene informazioni le quali possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento il quale appartiene a un nuovo spazio vettoriale di Hilbert (detto duale) e tale elemento è chiamato funzione d'onda. Nello spazio di Hilbert dei ket a volte si considerano gli spazi di Hilbert allargati, che consentono di formalizzare sia stati liberi sia stati legati.

Storia

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti da David Hilbert nell'ambito delle equazioni integrali. John von Neumann fu il primo a utilizzare la denominazione der abstrakte Hilbertsche Raum (lo spazio di Hilbert astratto) nel suo celebre lavoro sugli operatori hermitiani non limitati del 1929. Allo stesso von Neumann si deve la comprensione dell'importanza di questa struttura matematica, che egli utilizzò ampiamente nel suo approccio rigoroso alla meccanica quantistica. Ben presto il nome spazio di Hilbert divenne di largo uso nella matematica.

Definizione

Uno spazio di Hilbert $\mathbf{H}=(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ è uno spazio vettoriale $H$ reale o complesso sul quale è definito un prodotto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$ tale che, detta $\mathrm{d}$ la distanza indotta da $\langle\cdot,\cdot\rangle$ su $H$, lo spazio metrico $(H,\mathrm{d})$ sia completo. Uno spazio di Hilbert è dunque uno spazio prehilbertiano in cui il prodotto interno definisce una norma attraverso la quale si definisce una distanza che è tale da rendere lo spazio completo.

Esplicitamente, detto $V$ uno spazio vettoriale sul campo reale o complesso e $\langle\cdot, \cdot\rangle$ un prodotto scalare (nel caso complesso, una forma hermitiana) definito positivo su $V$, allora è naturalmente definita una norma $\| \cdot \|$ sullo stesso spazio ponendo:

$\|v\|:= \sqrt{\langle v,v\rangle}$

per ogni vettore $v \in V$. Con tale norma lo spazio ha la struttura di spazio normato.

Si può associare a uno spazio normato $(V,\|\cdot \|)$ una naturale struttura metrica, ottenuta definendo la distanza $\mathrm{d}$ come:

$\mathrm{d}(u,v):= \|u-v\|$ per ogni $u,\, v \in V$

Secondo la usuale identificazione di uno spazio vettoriale con uno spazio affine costruito prendendo come punti i vettori stessi, si pone come distanza tra due vettori la norma della loro differenza. Nel caso in cui la norma derivi da un prodotto scalare, vale dunque la seguente uguaglianza:

$\mathrm{d}(u,v)=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}$.

La presenza di un prodotto scalare fornisce il modo di definire in generale alcune nozioni proprie dell'ambito degli spazi di Hilbert. Dati due vettori $u,\,v\in H$, si può definire l'angolo $\theta$ da essi formato mediante la relazione:

$\cos{\theta} = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}$.

Coerentemente con la precedente definizione, dato un insieme qualsiasi $K \subset H$ si definisce il complemento ortogonale di $K$ come il sottospazio:

$K^\perp = \{v \in H\ | \langle u,v \rangle = 0\ \forall u\in K\}$.

In particolare, due vettori $u$ e $v$ si dicono ortogonali se $\langle u,v \rangle =0$, ossia se l'uno è nel complemento ortogonale dell'altro. Inoltre, una famiglia di vettori si dice ortonormale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali e hanno norma 1.

Dati due vettori $v, e \in H$, si definisce la componente di $v$ lungo $e$ lo scalare $\langle v,e \rangle$, e la proiezione di $v$ su $e$ il vettore $\frac{\langle v,e \rangle}{\langle e,e \rangle}\,e$.

Proprietà

Le proprietà seguenti, valide per gli spazi euclidei, si estendono anche agli spazi di Hilbert.

• Vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

$|\left \langle v, w \right \rangle|^2 \le \left \langle v, v \right \rangle \left \langle w, w \right \rangle$

• La norma indotta dal prodotto scalare soddisfa l'identità del parallelogramma:

$\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 \| v \|^2 + 2 \| w \|^2$

• Vale il teorema di Pitagora (sotto il nome di identità di Parseval), ovvero se $\{ v_k \}$ è una successione di vettori a due a due ortogonali si ha:

$\| \sum_{k=1}^{\infty} v_k \|^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \| v_k \|^2$

• Per spazi di Hilbert sui complessi vale l'identità di polarizzazione:

$\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} \left( ||v+ w||^2 - ||v-w||^2 + i (|| v + i w||^2 - ||v - i w||^2) \right)$

• Vale la disuguaglianza di Bessel, ovvero se $\{e_n\}$ è un insieme numerabile di vettori ortonormali allora per ogni $v$ vale:

$\langle v ,v\rangle = \|v\|^2 \ge \sum_{k=1}^{\infty} | \langle v , e_k \rangle |^2$.

• Ogni spazio di Hilbert è naturalmente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche di Hilbert se e solo se la sua norma è indotta da un prodotto scalare, o equivalentemente se esso è autoduale (ossia, se esso si può identificare con il suo spazio duale).
• Ogni spazio di Hilbert ha una base ortonormale, detta solitamente base hilbertiana. Una tale base è un insieme di vettori ortonormali, che generano un sottospazio denso in $H$.

Spazi di Hilbert separabili

Uno spazio topologico è detto separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Gli spazi di Hilbert finito dimensionali sono sempre separabili. Nel caso infinito dimensionale, invece, ci sono sia esempi di spazi separabili sia di non separabili. I primi sono di grande interesse nelle applicazioni, e su di essi si è costruita una teoria piuttosto ricca. Si può informalmente affermare che, tra gli spazi infinito dimensionali, gli spazi di Hilbert separabili sono quelli che più assomigliano agli spazi finito dimensionali, e sono pertanto più facili da studiare.

Uno spazio di Hilbert $H$ è separabile se e solo se ha una base ortonormale $S$ di cardinalità finita o numerabile. Se $S$ ha $N$ elementi allora $H$ è isomorfo a $\R^n$ oppure $\mathbb C^n$. Se $S$ ha un'infinita numerabile di elementi allora $H$ è isomorfo allo spazio $l_2$.

Una base ortonormale è ottenuta applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt a un insieme denso numerabile. Viceversa, il sottospazio generato da una base ortonormale è un insieme denso nello spazio di Hilbert. In uno spazio di Hilbert provvisto di una base hilbertiana $\{e_i\}$ numerabile è possibile esprimere ogni vettore, norma o prodotto scalare come somma di una serie convergente:

$v=\sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i\rangle e_i \qquad \|v\|^2=\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle |^2 \qquad \langle v,w \rangle = \sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i \rangle \langle e_i,w \rangle.$

Analisi di Fourier

Per approfondire, vedi Serie di Fourier e Trasformata di Fourier.

Un polinomio trigonometrico è una funzione periodica di periodo $2\pi$ definita sul campo reale del tipo:

$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\right] = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int},$

dove $a_i$ e $b_i$ sono numeri complessi e n è intero.

Sia:

$u_n (t) = e^{int} \$

e sia:

$\langle f,\, g \rangle \;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \; \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\overline{g(t)}\,dt$

un prodotto interno in $L^2(T)$, dove $T$ è la circonferenza unitaria.

Allora $\{ u_n = e^{i n t},n\in\mathbb{Z}\}$ è una base ortonormale rispetto al prodotto interno così definito, infatti:

$\langle u_n , u_m \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i (n-m) t}dt = \delta_{n,m}.$

Un tale sistema ortonormale in $L^2(T)$ è detto sistema ortonormale trigonometrico, ed è un sistema completo.

Si definisce serie di Fourier di una funzione $f \in L^2(T)$ a quadrato sommabile la rappresentazione della funzione per mezzo di una combinazione lineare dei vettori di base $u_n$ del sistema ortonormale trigonometrico:

$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) u_n = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{int}.$

I coefficienti della combinazione sono quindi la proiezione della funzione sui vettori di base stessi:

$f(n) := \frac{\langle f,u_n \rangle}{\| u_n \|^2} = \langle f,u_n \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(t)\,e^{-int}dt$

e sono detti coefficienti di Fourier.

Si supponga di estendere $T$ a un intervallo sufficientemente ampio in modo che il supporto di una funzione periodica $f$ con periodo $T = 2\pi$ sia contenuto in $[-T / 2,T / 2]$. Allora l'n-esimo coefficiente $f(n)$ è dato da:

$f(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,e^{-i(2 \pi \frac n T)x}dx.$

In modo informale si può affermare che all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo $T$ sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione $f(x)$ i coefficienti della serie approssimano il valore della trasformata di Fourier $\hat f (t)$ della funzione stessa, e la somma della serie approssima il valore della trasformata inversa. Più precisamente, nel caso in cui $f(x)$ sia identicamente nulla al di fuori dell'intervallo di integrazione $[-T / 2,T / 2]$, il valore dell'n-esimo coefficiente di Fourier è pari a $\mathcal{F}\{f\}({n \over T})$. Estendendo $T$ all'intero asse reale si ottiene in questo modo la trasformata di Fourier.

Si definisce trasformata di Fourier di una funzione $f$ appartenente allo spazio di Schwartz l'integrale:

$\mathcal{F}\{f\}(t) = \hat{f}(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} f(x)e^{-ixt}\,dx\qquad\forall t\in\R.$

Dal momento che $f$ appartiene a $L^1(\R)$, l'integrale è ben definito per ogni numero reale. Come conseguenza del teorema di Plancherel, la trasformata si può estendere in modo unico anche nello spazio di Hilbert $L^2$, tuttavia come funzione puntuale è definita quasi ovunque in tale insieme.

Esempi

Spazi di Hilbert di dimensione finita

• Lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ dei vettori di numeri reali:

  $\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)$

  con il prodotto scalare euclideo:

  $\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i$

  è uno spazio di Hilbert reale di dimensione finita $n$, detto spazio euclideo $n$-dimensionale.
• Lo spazio vettoriale $\mathbb{C}^n$ dei vettori di numeri complessi:

  $\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)$

  dotato della forma hermitiana standard

  $\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_i^{*} b_{i}$

  è uno spazio di Hilbert complesso di dimensione finita $n$.

Successioni a quadrato sommabile l²

Lo spazio delle successioni di numeri reali a quadrato sommabile:

$l^2(\mathbb{R})=\left\{ (x_n)_{n\in \mathbb N}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\},$

dotato del prodotto scalare

$\langle (x_n)_{n\in \mathbb N}|(y_n)_{n\in \mathbb N} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} y_k$

è uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita.

Lo stesso vale per l'analogo complesso:

$l^2(\mathbb{C})=\left\{ (x_n)_{n\in \mathbb N}, x_i\in\mathbb{C}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\},$

dotato del prodotto hermitiano

$\langle(x_n)_{n\in \mathbb N}|(y_n)_{n\in \mathbb N} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{*} y_k$.

Lo spazio L²

Per approfondire, vedi funzione a quadrato sommabile e Spazio Lp.

Lo spazio $V$ delle funzioni misurabili $f$ su un aperto $A \subset \mathbb{R}^n$, a valori complessi e di quadrato sommabile

$V = \left\{f: A \longrightarrow \mathbb{C}\ \Bigg|\ \int_{A}|f(x)|^2dx <\infty \right\}$

è uno spazio vettoriale complesso, e la forma

$\langle f , g \rangle = \int_{A} f(x)^* g(x) dx$

è hermitiana. Tale spazio non è però di Hilbert, poiché la forma hermitiana è solo semi-definita positiva: esistono infatti funzioni $f$ non nulle, ma tali che $\langle f , f \rangle$ è nullo. Ad esempio una funzione che vale 1 su un punto fissato di $A$, e 0 in tutti gli altri punti di $A$ ha questa proprietà (più in generale, l'integrale di una funzione che vale 0 fuori di un insieme di misura nulla ha integrale nullo).

Per ovviare a questo problema, si definisce lo spazio come quoziente di $V$ tramite la relazione di equivalenza che identifica due funzioni misurabili se differiscono solo su un insieme di misura nulla. La proiezione della forma hermitiana $\langle \cdot, \cdot \rangle$ su questo spazio è definita positiva, e la struttura che ne risulta è uno spazio di Hilbert, che viene indicato con $L^2(A,\mathbb C)$.

Spazi di Sobolev

Gli elementi di $L^2$ non sono, in generale, funzioni continue. Per questo motivo non è possibile definirne direttamente la derivata, che deve essere definita quindi in maniera diversa. Lo spazio delle funzioni derivabili debolmente k volte viene indicato tramite $H^k(A)$. Di questi tipi di spazi si occupa la teoria degli spazi di Sobolev.

Bibliografia

• Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-54397-7

• Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960.

• Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, New York, Courier Dover Publications [1970], 1982. ISBN 0-48664-062-0

• von Neumann, John (1929). Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. Mathematische Annalen 102: 49-131.

• Hermann Weyl, Dover Press (a cura di), The Theory of Groups and Quantum Mechanics [1931], 1950. ISBN 0-486-60269-9

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• Spazio prehilbertiano
• Spazio di Banach
• Spazio vettoriale topologico
• Prodotto scalare
• Forma hermitiana
• Spazio duale
• Operatore hermitiano
• Meccanica quantistica

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