Spazio di Hilbert

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Il matematico David Hilbert.

In matematica uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo; il suo ruolo è cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica.

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebre matematico David Hilbert all'inizio del XX secolo, e hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale e armonica. L'interesse della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto che essa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli spazi euclidei in spazi di funzioni infinito dimensionali. Grazie agli spazi di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi arbitrarie.

Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spazio vettoriale), su cui è definito un prodotto scalare (in particolare, quindi, è possibile parlare di distanze, angoli, ortogonalità), e tale che sia garantita la completezza (ossia, che non vi siano dei comportamenti patologici nel processo di passaggio al limite). Nelle applicazioni, gli elementi di uno spazio di Hilbert (vettori) sono spesso successioni di numeri complessi o funzioni.

In meccanica quantistica uno stato fisico può essere rappresentato da un elemento (vettore o ket) o da una opportuna combinazione lineare di elementi dello spazio di Hilbert. Lo stato fisico contiene informazioni le quali possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento il quale appartiene a un nuovo spazio vettoriale di Hilbert (detto duale) e tale elemento è chiamato funzione d'onda. Nello spazio di Hilbert dei ket a volte si considerano gli spazi di Hilbert allargati, che consentono di formalizzare sia stati liberi sia stati legati.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti da David Hilbert nell'ambito delle equazioni integrali[1]. John von Neumann fu il primo a utilizzare la denominazione der abstrakte Hilbertsche Raum (lo spazio di Hilbert astratto) nel suo celebre lavoro sugli operatori hermitiani non limitati del 1929[2]. Allo stesso von Neumann si deve la comprensione dell'importanza di questa struttura matematica, che egli utilizzò ampiamente nel suo approccio rigoroso alla meccanica quantistica[3]. Ben presto il nome spazio di Hilbert divenne di largo uso nella matematica[4].

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio di Hilbert \mathbf{H}=(H,\langle\cdot,\cdot\rangle) è uno spazio vettoriale H reale o complesso[5] sul quale è definito un prodotto interno  \langle\cdot,\cdot\rangle tale che, detta \mathrm{d} la distanza indotta da  \langle\cdot,\cdot\rangle su H, lo spazio metrico (H,\mathrm{d}) sia completo. Uno spazio di Hilbert è dunque uno spazio prehilbertiano in cui il prodotto interno definisce una norma attraverso la quale si definisce una distanza che è tale da rendere lo spazio completo.

Esplicitamente, detto V uno spazio vettoriale sul campo reale o complesso e \langle\cdot, \cdot\rangle un prodotto scalare (nel caso complesso, una forma hermitiana) definito positivo su V, allora è naturalmente definita una norma \| \cdot \| sullo stesso spazio ponendo:

 \|v\|:= \sqrt{\langle v,v\rangle}

per ogni vettore v \in V. Con tale norma lo spazio ha la struttura di spazio normato.

Si può associare a uno spazio normato (V,\|\cdot \|) una naturale struttura metrica, ottenuta definendo la distanza \mathrm{d} come:

 \mathrm{d}(u,v):= \|u-v\| per ogni u,\, v \in V

Secondo la usuale identificazione di uno spazio vettoriale con uno spazio affine costruito prendendo come punti i vettori stessi, si pone come distanza tra due vettori la norma della loro differenza. Nel caso in cui la norma derivi da un prodotto scalare, vale dunque la seguente uguaglianza:

\mathrm{d}(u,v)=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}

La presenza di un prodotto scalare fornisce il modo di definire in generale alcune nozioni proprie dell'ambito degli spazi di Hilbert. Dati due vettori u,\,v\in H, si può definire l'angolo \theta da essi formato mediante la relazione:

 \cos{\theta} = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}

Coerentemente con la precedente definizione, dato un insieme qualsiasi K \subset H si definisce il complemento ortogonale di K come il sottospazio:

 K^\perp = \{v \in H\ | \langle u,v \rangle = 0\ \forall u\in K\}

In particolare, due vettori u e v si dicono ortogonali se \langle u,v \rangle =0, ossia se l'uno è nel complemento ortogonale dell'altro. Inoltre, una famiglia di vettori si dice ortonormale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali e hanno norma 1.

Dati due vettori v, e \in H, si definisce la componente di v lungo e lo scalare \langle v,e \rangle, e la proiezione di v su e il vettore \frac{\langle v,e \rangle}{\langle e,e \rangle}\,e.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Le proprietà seguenti, valide per gli spazi euclidei, si estendono anche agli spazi di Hilbert.

|\left \langle v, w \right \rangle|^2 \le \left \langle v, v \right \rangle \left \langle w, w \right \rangle
\| v + w \|^2 + \| v - w \|^2 = 2 \| v \|^2 + 2 \| w \|^2
\| \sum_{k=1}^{\infty} v_k \|^2 =  \sum_{k=1}^{\infty} \| v_k \|^2
  • Per spazi di Hilbert sui complessi vale l'identità di polarizzazione:
\langle v, w \rangle = \frac{1}{4} \left( ||v+ w||^2 - ||v-w||^2 + i (|| v + i w||^2 - ||v - i w||^2) \right)
\langle v ,v\rangle = \|v\|^2 \ge \sum_{k=1}^{\infty} | \langle v , e_k \rangle |^2
  • Ogni spazio di Hilbert è naturalmente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche di Hilbert se e solo se la sua norma è indotta da un prodotto scalare, o equivalentemente se esso è autoduale (ossia, se esso si può identificare con il suo spazio duale).
  • Ogni spazio di Hilbert ha una base ortonormale, detta solitamente base hilbertiana. Una tale base è un insieme di vettori ortonormali, che generano un sottospazio denso in  H .

Spazi di Hilbert separabili[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio topologico è detto separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Gli spazi di Hilbert finito dimensionali sono sempre separabili. Nel caso infinito dimensionale, invece, ci sono sia esempi di spazi separabili sia di non separabili. I primi sono di grande interesse nelle applicazioni, e su di essi si è costruita una teoria piuttosto ricca. Si può informalmente affermare che, tra gli spazi infinito dimensionali, gli spazi di Hilbert separabili sono quelli che più assomigliano agli spazi finito dimensionali, e sono pertanto più facili da studiare.

Uno spazio di Hilbert H è separabile se e solo se ha una base ortonormale  S di cardinalità finita o numerabile. Se  S ha  N elementi allora  H è isomorfo a \R^n oppure \mathbb C^n . Se  S ha un'infinita numerabile di elementi allora H è isomorfo allo spazio l_2.

Una base ortonormale è ottenuta applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt a un insieme denso numerabile. Viceversa, il sottospazio generato da una base ortonormale è un insieme denso nello spazio di Hilbert. In uno spazio di Hilbert provvisto di una base hilbertiana  \{e_i\} numerabile è possibile esprimere ogni vettore, norma o prodotto scalare come somma di una serie convergente:

v=\sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i\rangle e_i \qquad \|v\|^2=\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle |^2 \qquad \langle v,w \rangle = \sum_{i = 1}^\infty \langle v,e_i \rangle \langle e_i,w \rangle

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Spazi di Hilbert di dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

  • Lo spazio vettoriale \mathbb{R}^n dei vettori di numeri reali:
\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)
con il prodotto scalare euclideo:
\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i
è uno spazio di Hilbert reale di dimensione finita  n , detto spazio euclideo n-dimensionale.
  • Lo spazio vettoriale \mathbb{C}^n dei vettori di numeri complessi:
\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)
dotato della forma hermitiana standard:
\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_i^{*} b_{i}
è uno spazio di Hilbert complesso di dimensione finita  n .

Successioni a quadrato sommabile [modifica | modifica sorgente]

Lo spazio delle successioni di numeri reali a quadrato sommabile:

l^2(\mathbb{R})=\left\{ (x_n)_{n\in \mathbb N}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\}

dotato del prodotto scalare:

\langle (x_n)_{n\in \mathbb N}|(y_n)_{n\in \mathbb N} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} y_k

è uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita. Lo stesso vale per l'analogo complesso:

l^2(\mathbb{C})=\left\{ (x_n)_{n\in \mathbb N}, x_i\in\mathbb{C}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\}

dotato del prodotto hermitiano:

\langle(x_n)_{n\in \mathbb N}|(y_n)_{n\in \mathbb N} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{*} y_k

Lo spazio L²[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi funzione a quadrato sommabile e Spazio Lp.

Lo spazio  V delle funzioni misurabili  f su un aperto  A \subset \mathbb{R}^n, a valori complessi e di quadrato sommabile:

V = \left\{f: A \longrightarrow \mathbb{C}\ \Bigg|\ \int_{A}|f(x)|^2dx <\infty \right\}

è uno spazio vettoriale complesso, e la forma:

\langle f , g \rangle = \int_{A} f(x)^* g(x) dx

è hermitiana. Tale spazio non è però di Hilbert, poiché la forma hermitiana è solo semi-definita positiva: esistono infatti funzioni f non nulle, ma tali che \langle f , f \rangle è nullo. Ad esempio una funzione che vale 1 su un punto fissato di  A , e 0 in tutti gli altri punti di A ha questa proprietà (più in generale, l'integrale di una funzione che vale 0 fuori di un insieme di misura nulla ha integrale nullo).

Per ovviare a questo problema, si definisce lo spazio come quoziente di V tramite la relazione di equivalenza che identifica due funzioni misurabili se differiscono solo su un insieme di misura nulla. La proiezione della forma hermitiana \langle \cdot, \cdot \rangle su questo spazio è definita positiva, e la struttura che ne risulta è uno spazio di Hilbert, che viene indicato con  L^2(A,\mathbb C).

Spazi di Sobolev[modifica | modifica sorgente]

Gli elementi di L^2 non sono, in generale, funzioni continue. Per questo motivo non è possibile definirne direttamente la derivata, che deve essere definita quindi in maniera diversa. Lo spazio delle funzioni derivabili debolmente k volte viene indicato tramite H^k(A). Di questi tipi di spazi si occupa la teoria degli spazi di Sobolev.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Per un'introduzione storica più dettagliata al contesto intellettuale in cui sono nate le idee che hanno dato vita allo studio degli spazi di Hilbert, si veda Boyer History of Mathematics capp. 27 e 28.
  2. ^ von Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren.
  3. ^ Nell'approccio di von Neumann, la meccanica quantistica viene studiata mediante C*-algebre. Tuttavia ogni C*-algebra è una sottoalgebra dell'algebra degli operatori limitati su di uno spazio di Hilbert. Di qui l'importanza di tali spazi in questo contesto. È interessante notare che questo approccio alla meccanica quantistica è stato cominciato da von Neumann proprio insieme con Hilbert.
  4. ^ Dopo Von Neumann, uno dei primi usi documentati del nome spazio di Hilbert si trova in Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics.
  5. ^ Per semplicità, si omettono nella definizione la presenza delle operazioni di somma e moltiplicazione per scalari proprie di uno spazio vettoriale, e si identifica H con l'insieme stesso su cui lo spazio vettoriale è costruito.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.
  • (EN) Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960.
  • (EN) Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, New York, Courier Dover Publications [1970], 1982, ISBN 0-486-64062-0.
  • (DE) John von Neumann, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren in Mathematische Annalen, vol. 102, 1929, pp. 49-131.
  • (EN) Hermann Weyl in Dover Press (a cura di), The Theory of Groups and Quantum Mechanics, 1950 [1931], ISBN 0-486-60269-9.
  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]