Matrice nulla

In matematica, una matrice nulla o matrice zero è una matrice i cui valori sono tutti pari a zero.

La matrice nulla con $m$ righe e $n$ colonne viene indicata con $0_{m\times n}$, o più semplicemente con $0$.

Sono qui mostrate alcune matrici quadrate nulle:

$\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} ,\ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$

Proprietà

Elemento neutro

La matrice nulla è l'elemento neutro rispetto all'operazione di somma fra matrici. In altre parole, valgono le relazioni

$A+0 = 0+A = A$

per ogni matrice $A$ avente lo stesso numero di righe e colonne di $0$.

L'insieme $M(m,n,K )$ di tutte le matrici $m\times n$ a valori in un fissato campo $K$ è un gruppo e uno spazio vettoriale, e la matrice nulla $0$ è l'elemento neutro di entrambe le strutture.

Se $m = n$, è definita anche una moltiplicazione e l'insieme $M(m,m,K)$ è anche un anello: tutte queste strutture sono riassunte nella nozione di algebra su campo, e $0$ è sempre l'elemento neutro rispetto alla somma. L'elemento neutro rispetto al prodotto è la matrice identità.

Applicazioni lineari

Alla matrice nulla è associata la trasformazione lineare identicamente nulla: quell'applicazione $0:V\to W$ fra spazi vettoriali che associa ad ogni vettore $v$ di $V$ il vettore nullo di $W$.

Voci correlate

• Matrice identità

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