Teorema di Laplace

Il Teorema di Laplace o sviluppo di Laplace è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

Definizioni ausiliarie

Prima di passare all'enunciato del teorema, conviene fornire alcune definizioni. Supponiamo di avere una matrice quadrata M di dimensione n e di elementi $m_{ij}$.

• La matrice $\rm M_{ij}$ è la sottomatrice (di dimensione n–1) che si ottiene da M cancellando la i-sima riga e la j-sima colonna.
• Il valore $\rm{det}(M_{ij})$ è detto minore complementare dell'elemento $m_{ij}$.
• Il prodotto $(-1)^{i+j} \rm{det}(M_{ij})$ è detto complemento algebrico o cofattore dell'elemento $m_{ij}$.

Enunciati

Il primo teorema di Laplace afferma che

il determinante di una matrice quadrata M è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

In formule,

$\rm{det}\, M = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,m_{ij}\,\rm{det}\,\rm M_{ij}$

per una riga i qualsiasi.

valido anche se si considerano le colonne

il determinante di una matrice quadrata M è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

In formule,

$\rm{det}\, M = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\,m_{ij}\,\rm{det}\,\rm M_{ij}$

per una colonna j qualsiasi.

Il secondo teorema di Laplace afferma che

è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa.

In formule,

$\rm 0 = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,m_{kj}\,\rm{det}\,\rm M_{ij} \ \ \ con \ \ \ i \not= k$

(se i=k è il primo teorema e il risultato è diverso da zero)

Applicazioni

• Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei valori sulla diagonale.
• Il determinante di una matrice triangolare è ancora il prodotto dei valori sulla diagonale.
• Gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale.

Esempio di calcolo

Come esempio di calcolo si prenda la matrice quadrata seguente:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -3 \\ 0 & -4 & 1 \end{bmatrix}$

• Scegliamo la prima riga (1 ; 2 ; 3);
• Moltiplichiamo il valore del primo numero (1) della riga scelta per il suo complemento algebrico (la sottomatrice $\begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -4 & +1 \end{bmatrix}$, il cui determinante è $(-1 \cdot 1)-(-3 \cdot (-4))=-1-12=-13$; perciò $1 \cdot (-13)=-13$;
• Facciamo lo stesso per il secondo numero (2) cambiato di segno e il suo complemento algebrico $\begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$: $-2 \cdot [(-2 \cdot 1)-(-3 \cdot 0)]=4$;
• In ultimo per il terzo numero (3) e il suo complemento $\begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}$: $3 \cdot [(-2 \cdot (-4))-(-1 \cdot 0)]=24$;
• Quindi il determinante dato dalla somma dei prodotti è: $-13+4+24=15$.
• Il determinante della matrice iniziale è dunque $-13+4+24=15$.

Dimostrazione

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operando con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi $Det A = Det ^t(A)$. Fissato arbitrariamente $h$ appartenente $N_{n}$, la matrice ottenuta da A sostituendo alla sua h-esima riga la n-pla: $(0,0,...,0,1,0,...,0)$, dove l'elemento 1 compare nella j-esima posizione. Da $(a_{h1}, a_{h2}, ..., a_{hn})=a_{h1}(1,0,...,0)+a_{h2}(0,1,0...,0)+...+a_{hn}(0,...,0,1).$ applicando iterativamente le proprietà 4' e 4" del determinante alla h-esima riga di A, si ottiene:

$\rm{det}\, A = \sum_{j=1}^{n} a_{hj} Det B_{j}$

Non resta che provare che al variare di j in $N_{n} Det B_{j}=A_{j}^h$ A tale scopo sia $B_{j}'$ la matrice ottenuta da $B_{j}$ scambiando consecutivamente ogni riga, dalla h-esima ala h-1 -esima, con la sua successiva fino ad ottenere una matrice $B'_{j}$ con un 1 nel posto individuato dalla h-esima riga e dalla j-esima colonna, tutti gli altri elementi di tale riga siano 0 e tutti gli altri elementi della j-esima colonna siano quelli di A. in questo modo abbiamo isolato il minore $M_{j}'$. Essendo tale minore il minore $M_{j}^h$ complementare di $a^h_{j}$ in A. Si osservi ora che se $P_{n}'$ indica il sottogruppo di $P_{n}$ costituito dalla permutazione p appartenente a $P_{n}$ tale che p(n)=n, l'applicazione che associa ad ogni p appartenente a $P_{n}'$ la sua restrizione a $N_{n-1}$ definisce una biiezione tra $P_{n}'$ e $P_{n-1}$ in cui corrispondenti permutazioni hanno lo stesso segno. Pertanto, posto $B_{j}'=(a_{s}^r)$, poiché $a_{n}^n=1$ e, per ogni s appartenente a $N_{n-1}$, $a_{s}^n=0$ si ottiene:

$\rm{det}\, B_{j}' = \sum_{p P_{n}} sign p a_{p(1)}^1*....* a^{(n-1)}_{p(n-1)} * a_{p(n)}^n =$

$\sum_{p P_{n}'} sign p a_{p(1)}^1*....* a^{(n-1)} _{p(n-1)} * 1 =$

$\sum_{p P_{n-1}} sign p a_{p(1)}^1*....* a_{p(n-1)}^{(n-1)} = Det M_{j}' = Det M_{h}^j$

Poiché $B_{j}'$ è ottenuta da $B_{j}$ con n-h scambi di riga ed n-j scambi di colonna, dalla proprietà 2 del determinante si ha: $Det B_{j}=(-1)^{n-h}*(-1)^{(n-j)} * Det B_{j}'= (-1)^ {2n-(h+j)}* Det B_{j}'=(-1)^{(h+j)}* Det M_{j}^h = A{j}^h$ Ciò conclude la prova

Voci correlate

• Determinante
• Algoritmo di Gauss
• Matrice invertibile

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica