Teorema di Laplace

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In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

Definizioni ausiliarie[modifica | modifica wikitesto]

Prima di passare all'enunciato del teorema, conviene fornire alcune definizioni. Si supponga di avere una matrice quadrata M di dimensione n e di elementi m_{ij}.

  • La matrice M_{ij} è la sottomatrice (di dimensione n–1) che si ottiene da M cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.
  • Il valore \textrm{det}(M_{ij}) è detto minore complementare dell'elemento (i,j).
  • Il valore (-1)^{i+j} \textrm{det}(M_{ij}) è detto cofattore o complemento algebrico dell'elemento (i,j).

Enunciati[modifica | modifica wikitesto]

Il primo teorema di Laplace afferma che il determinante di una matrice quadrata M di ordine nè pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) per i rispettivi complementi algebrici.

In formule:

\textrm{det}\, M = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,m_{ij}\,\textrm{det}\, M_{ij}

indicando con i la riga e con j la colonna e considerando i,j = 1,\dots,n.

Il secondo teorema di Laplace afferma che è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa.

In formule:

 0 = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,m_{kj}\,\textrm{det}\, M_{ij} \ \ \  \text{con} \ \ \ i \not= k

(se i=k è il primo teorema e il risultato è diverso da zero).

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operando con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi \textrm{det}\, A = \textrm{det}\, (A^T). Fissato arbitrariamente h appartenente  N_{n}, la matrice ottenuta da A sostituendo alla sua h-esima riga la n-pla:

(0,0,\dots,0,1,0,\dots,0)

dove l'elemento 1 compare nella j-esima posizione. Da:

(a_{h1}, a_{h2},\dots, a_{hn})=a_{h1}(1,0,\dots,0)+a_{h2}(0,1,0\dots,0)+\dots+a_{hn}(0,\dots,0,1)

applicando iterativamente le proprietà 4' e 4" del determinante alla h-esima riga di A, si ottiene:

\textrm{det}\, A = \sum_{j=1}^{n} a_{hj} \textrm{det}\,B_{j}

Non resta che provare che al variare di j in  N_{n} \textrm{det}\,B_{j}=A_{j}^h

A tale scopo sia B_{j}' la matrice ottenuta da B_{j} scambiando consecutivamente ogni riga, dalla h-esima alla h-1 -esima, con la sua successiva fino ad ottenere una matrice B'_{j} con un 1 nel posto individuato dalla h-esima riga e dalla j-esima colonna, tutti gli altri elementi di tale riga siano 0 e tutti gli altri elementi della j-esima colonna siano quelli di A. in questo modo si è isolato il minore M_{j}'.

Essendo tale minore il minore M_{j}^h complementare di a^h_{j} in A. Si osservi ora che se P_{n}' indica il sottogruppo di P_{n} costituito dalla permutazione p appartenente a P_{n} tale che p(n)=n, l'applicazione che associa ad ogni p appartenente a P_{n}' la sua restrizione a N_{n-1} definisce una biiezione tra P_{n}' e P_{n-1} in cui corrispondenti permutazioni hanno lo stesso segno. Pertanto, posto B_{j}'=(a_{s}^r), poiché a_{n}^n=1 e, per ogni s appartenente a N_{n-1}, a_{s}^n=0 si ottiene:

\textrm{det}\,B_{j}' = \sum_{p P_{n}} \textrm{sign}\,p a_{p(1)}^1*\dots* a^{(n-1)}_{p(n-1)} * a_{p(n)}^n =
\sum_{p P_{n}'} \textrm{sign}\, p a_{p(1)}^1*\dots* a^{(n-1)} _{p(n-1)} * 1 =
\sum_{p P_{n-1}} \textrm{sign}\, p a_{p(1)}^1*\dots* a_{p(n-1)}^{(n-1)} = \textrm{det}\, M_{j}' = \textrm{det}\, M_{h}^j

Poiché B_{j}' è ottenuta da B_{j} con n-h scambi di riga ed n-j scambi di colonna, dalla proprietà 2 del determinante si ha:

\textrm{det}\, B_{j}=(-1)^{n-h}*(-1)^{(n-j)} * \textrm{det}\, B_{j}'= (-1)^ {2n-(h+j)}* \textrm{det}\, B_{j}'=(-1)^{(h+j)}* \textrm{det}\, M_{j}^h = A{j}^h

Ciò conclude la dimostrazione.

Esempio di calcolo[modifica | modifica wikitesto]

Come esempio di calcolo si prenda la matrice quadrata seguente:


\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-2 & -1 & -3 \\
0 & -4 & 1 \end{bmatrix}
  • Si sceglie la prima riga: (1 , 2 , 3);
  • Si moltiplica il valore del primo numero (1) della riga scelta per il suo complemento algebrico: la sottomatrice \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}, il cui determinante è (-1 \cdot 1)-(-3 \cdot (-4))=-1-12=-13 perciò 1 \cdot (-13)=-13;
  • Si fa lo stesso per il secondo numero (2) cambiato di segno e il suo complemento algebrico \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}: -2 \cdot [(-2 \cdot 1)-(-3 \cdot 0)]=4;
  • In ultimo per il terzo numero (3) e il suo complemento \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -4 \end{bmatrix}: 3 \cdot [(-2 \cdot (-4))-(-1 \cdot 0)]=24;
  • Quindi il determinante dato dalla somma dei prodotti è: -13+4+24=15.
  • Il determinante della matrice iniziale è dunque -13+4+24=15.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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