Teorema di Hamilton-Cayley

In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell'anello delle trasformazioni lineari (o delle matrici quadrate).

Più precisamente, se $A$ è la trasformazione lineare nello spazio n-dimensionale (o, equivalentemente, una matrice n×n) e $I_n$ è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:

$(-1)^n A^n +(-1)^{n-1} \textrm{tr}(A) A^{n-1}+ \ldots + \det(A)\, I_n =0$

Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Cayley–Hamilton vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

Il teorema

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è una trasformazione lineare $T:V \to V$. L'insieme degli endomorfismi su $V$, con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una $K$-algebra denotata con $\textrm{End}_K(V)$ o $\textrm{End}(V)$. Analogamente, le matrici quadrate di dimensione n a valori in $K$, con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una $K$-algebra denotata con $M(n, K)$ o $M(n)$.

Se $V$ ha dimensione n, considerando una base $B$ per $V$ si può associare ad ogni endomorfismo di $\textrm{End}_K(V)$ una matrice di $M(n, K)$ tramite un isomorfismo.

Inoltre, considerando un polinomio $p(x)$ a coefficienti in $K$, se $a$ è un qualsiasi elemento di una $K$-algebra si definisce l'elemento $p(a)$ dell'algebra come quello ottenuto da $a$ tramite le operazioni prescritte da $p$ (somma, prodotto per scalare e fra elementi dell'algebra). In particolare, se $T$ è un endomomorfismo allora $p(T)$ è un endomomorfismo, e se $A$ è una matrice allora $p(A)$ è una matrice.

Enunciato

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se $f$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ a dimensione finita e $p(x)$ è il suo polinomio caratteristico, allora $p(f)=0$.

Analogamente, se $A$ è una matrice quadrata e $p(x)$ il suo polinomio caratteristico, allora $p(A)=0$.

Esempio

Consideriamo per esempio la matrice

$A = \begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.$

Il suo polinomio caratteristico è dato da

$p(\lambda)=\det\begin{bmatrix}1-\lambda&2\\ 3&4-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)- 2\cdot 3=\lambda^2-5\lambda-2.$

Il teorema di Cayley–Hamilton sostiene che:

$A^2-5A-2I_2=0$

il che si può facilmente verificare.

Applicazioni

Diagonalizzabilità

Per approfondire, vedi polinomio minimo.

Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice A che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali A² = I_n oppure A² = A, è diagonalizzabile.

Potenza di matrice

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:

$A^2-5A-2I_2=0$

$A^2=5A+2I_2.$

si può calcolare A⁴ nel modo seguente:

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$

$A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A$

$A^4=145A+54I_2.$

Dimostrazione

Forniamo una dimostrazione analitica nel caso in cui K sia il campo dei numeri reali o complessi: sia A una matrice quadrata con n righe. Supponiamo inizialmente che A sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi A è simile a D, in altre parole esiste una matrice invertibile M tale che

$A = M^{-1}DM.$

Le matrici D e A hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si spezza come

$p(x) = (\lambda_1-x)\cdots(\lambda_n-x)$

dove λ₁, ..., λ_n sono gli autovalori di D (con molteplicità), presenti sulla diagonale di D. Qui è facile verificare che p(D) è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che

$p(A) = p(M^{-1}DM) = M^{-1}p(D)M = M^{-1}0M = 0.$

Abbiamo dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su C formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici n per n in C. La funzione che associa ad una matrice A la matrice p(A) è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.

Nel caso di matrici su un campo $K$ qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare $K$ alla sua chiusura algebrica $F$. In $F$ la matrice $A$ ha dunque $n$ autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.

Voci correlate

• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo
• Forma canonica di Jordan
• Funzione di matrice

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