Teorema di Hamilton-Cayley

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In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell'anello delle trasformazioni lineari (o delle matrici quadrate).

Più precisamente, se A è la trasformazione lineare nello spazio n-dimensionale (o, equivalentemente, una matrice n\times n) e I_n è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:

 (-1)^n A^n +(-1)^{n-1} \textrm{tr}(A) A^{n-1}+ \ldots + \det(A)\, I_n =0.

Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Cayley–Hamilton vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale V su un campo K è una trasformazione lineare T\colon V \to V. L'insieme degli endomorfismi su V, con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una K-algebra denotata con \textrm{End}_K(V) o \textrm{End}(V). Analogamente, le matrici quadrate di dimensione n a valori in K, con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una K-algebra denotata con M(n, K) o M(n).

Se V ha dimensione n, considerando una base B per V si può associare ad ogni endomorfismo di \textrm{End}_K(V) una matrice di M(n, K) tramite un isomorfismo.

Inoltre, considerando un polinomio p(x) a coefficienti in K, se a è un qualsiasi elemento di una K-algebra si definisce l'elemento p(a) dell'algebra come quello ottenuto da a tramite le operazioni prescritte da p (somma, prodotto per scalare e fra elementi dell'algebra). In particolare, se T è un endomomorfismo allora p(T) è un endomomorfismo, e se A è una matrice allora p(A) è una matrice.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se f è un endomorfismo di uno spazio vettoriale V a dimensione finita e p(x) è il suo polinomio caratteristico, allora p(f)=0.

Analogamente, se A è una matrice quadrata e p(x) il suo polinomio caratteristico, allora p(A)=0.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Si consideri per esempio la matrice:

A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

Il suo polinomio caratteristico è dato da:

p(\lambda)=\det\begin{bmatrix}1-\lambda&2\\
3&4-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)- 2\cdot 3=\lambda^2-5\lambda-2.

Il teorema di Cayley–Hamilton sostiene che:

A^2-5A-2I_2=0,

il che si può facilmente verificare.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Diagonalizzabilità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi polinomio minimo.

Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice A che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali A^2 = I_n oppure A^2 = A, è diagonalizzabile.

Potenza di matrice[modifica | modifica sorgente]

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:

A^2-5A-2I_2=0,
A^2=5A+2I_2,

si può calcolare A^4 nel modo seguente:

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2,
A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A,
A^4=145A+54I_2.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui K sia il campo dei numeri reali o complessi: sia A una matrice quadrata con n righe. Si supponga inizialmente che A sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi A è simile a D, in altre parole esiste una matrice invertibile M tale che:

 A = M^{-1}DM.

Le matrici D e A hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si spezza come:

 p(x) = (\lambda_1-x)\cdots(\lambda_n-x),

dove \lambda_1,\dots,\lambda_nA sono gli autovalori di D (con molteplicità), presenti sulla diagonale di D. Qui è facile verificare che p(D) è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:

 p(A) = p(M^{-1}DM) = M^{-1}p(D)M = M^{-1}0M = 0.

Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su \C formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici n \times n in \C. La funzione che associa ad una matrice A la matrice P(A) è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.

Nel caso di matrici su un campo K qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare K alla sua chiusura algebrica F. In F la matrice A ha dunque n autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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