Sottospazio ortogonale

In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di perpendicolarità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$, munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana $\phi:V\times V\to K$.

Sia $W$ un sottoinsieme di $V$. Il sottospazio ortogonale $W^\perp$ di $W$ è l'insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di $W$:

$W^\perp = \{v \in V\ |\ \phi(v,w) = 0\ \forall w\in W\}.$

Dove due vettori $v, w$ di $V$ sono detti ortogonali se e solo se $\phi(v,w)=0$.

Si dimostra facilmente che l'insieme $W^\perp$, munito della somma e del prodotto mutuati da $V$, è un sottospazio vettoriale di $V$; si dimostra inoltre che, se $\mathcal{L}(W)$ è il sottospazio generato dai vettori di $W$, allora $W^\perp = \left(\mathcal{L}(W)\right)^\perp$.

Dimensioni e somma diretta

Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale di $V$. La sua dimensione non è fissata generalmente, ma vale la disuguaglianza:

$\dim W + \dim W^\perp \geq \dim V.$

Se il prodotto scalare o la forma hermitiana è non degenere, vale l'uguaglianza:

$\dim W + \dim W^\perp = \dim V.$

Infine, se $K = \R$ e $\phi$ è un prodotto scalare è definito positivo, oppure se $K = \mathbb C$ e $\phi$ è una forma hermitiana definita positiva, lo spazio $W$ ed il suo ortogonale sono in somma diretta:

$W \oplus W^\perp = V.$

Questo è il caso ad esempio in ogni spazio euclideo o spazio di Hilbert. Lo stesso risultato vale se $\phi$ è definito negativo. Per questo motivo, se $\phi$ è definito positivo o negativo il sottospazio ortogonale è chiamato anche complemento ortogonale.

Relazioni con le altre operazioni

Valgono le relazioni seguenti per ogni coppia $U$ e $W$ di sottospazi di $V$:

$U\subset W \Rightarrow W^\perp\subset U^\perp \qquad (U+W)^\perp = U^\perp\cap W^\perp \qquad (U^\perp)^\perp \supset U$

Se $\phi$ è non degenere, vale:

$(U^\perp)^\perp = U$

Radicale

Il radicale di $\phi$ è definito come il sottospazio formato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore di $V$:

${\rm Rad}(\phi) = V^\perp$

Un prodotto scalare (o forma hermitiana) $\phi$ è non degenere quando il radicale è il sottospazio banale (consta cioè del solo elemento zero).

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Prodotto scalare
• Somma diretta
• Sottospazio vettoriale

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