Teorema del rango

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In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema del rango, anche detto teorema di nullità più rango o teorema della dimensione, afferma che la somma della dimensione dell'immagine più la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è pari alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è pari al numero di colonne della matrice.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali, con l'ipotesi che lo spazio vettoriale di partenza abbia dimensione finita. Data una applicazione lineare fra spazi vettoriali:

f:V\to W

il teorema stabilisce che vale la relazione:[1]

\dim \operatorname{Im}(f) + \dim \operatorname{Ker}(f) = n

dove \textrm{Im}(f) e \textrm{Ker}(f) sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di f e n è la dimensione di V.

In modo equivalente, se A è una matrice m\times n allora:

\operatorname {rk}(A) + \operatorname{null}(A) = n

Dove \operatorname{null}(A) indica la dimensione del nullo di A ovvero la \dim \operatorname{Ker}(A), o indice di nullità.

L'equivalenza degli enunciati deriva dal fatto che ogni applicazione lineare  f : K^n \to K^ m\,\! può essere scritta nel seguente modo:[2]

 f( \mathbf x) = A \mathbf x \

dove A è la matrice di trasformazione associata ad f rispetto ad una data base.

Il nucleo di f è lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato alla matrice A, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle sue colonne  A^1, \ldots, A^n .[3]

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Poiché V ha dimensione finita, il sottospazio vettoriale \textrm{Ker}(f) ha anch'esso dimensione finita. Il nucleo ha quindi una base:

B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_r)

Per il teorema della base incompleta esistono \mathbf v_{r+1},\ldots,\mathbf v_n tali che:

B'=(\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_r,\mathbf v_{r+1},\ldots,\mathbf v_n)

sia una base di V. Per concludere è sufficiente mostrare che i vettori:

f(\mathbf v_{r+1}),\ldots,f(\mathbf v_n)

formano una base di \textrm{Im}(f). L'immagine è generata dai vettori:

f(\mathbf v_1),\ldots,f(\mathbf v_r),f(\mathbf v_{r+1}),\ldots,f(\mathbf v_n)

I primi r vettori sono però nulli, quindi l'immagine è generata dagli ultimi n-r vettori:

f(\mathbf v_{r+1}),\ldots,f(\mathbf v_n)

Resta quindi da verificare che questi vettori siano linearmente indipendenti. Si suppone quindi data una combinazione lineare nulla:

\lambda_{r+1}f(\mathbf v_{r+1})+\ldots+\lambda_{n}f(\mathbf v_n)=0

Per linearità si ottiene:

f(\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n) = 0

Quindi:

\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n\in \operatorname {Ker}(f)

Poiché questo vettore sta nel nucleo, è esprimibile come combinazione lineare dei vettori \mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_r:

\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n=\alpha_{1}\mathbf v_1+\ldots+\alpha_{n}\mathbf v_r

In altre parole:

 -\alpha_{1}\mathbf v_1-\ldots-\alpha_{n}\mathbf v_r+\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n = 0

Poiché (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n) è una base di V, tutti i coefficienti qui presenti sono nulli. In particolare, \lambda_j =0 per ogni j. Quindi i vettori f(\mathbf v_{r+1}),\ldots, f(\mathbf v_n) sono effettivamente indipendenti. L'immagine ha quindi dimensione n-r. Pertanto:

\dim(\operatorname{Im}(f))= n-r = \dim(V)-\dim(\operatorname{Ker}(f))

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo[modifica | modifica sorgente]

Il teorema del rango può essere visto come corollario al primo teorema di isomorfismo:

V / \operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f

dove f è un omomorfismo di gruppi (in particolare, di spazî vettoriali) che agisce su V. Si ha infatti:

\dim(V / \operatorname{Ker} f) = \dim(\operatorname{Im} f)
\dim(V) - \dim(\operatorname{Ker} f) = \dim(\operatorname{Im} f)

che è l'asserto del teorema.

Caso di dimensione infinita[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo il caso particolare in cui l'applicazione lineare è un endomorfismo, cioè una applicazione lineare f:V\to V dallo spazio V in sé stesso. La relazione appena dimostrata:

\dim \operatorname{Im}(f) + \dim \operatorname{Ker}(f) = n

dice che l'iniettività e la suriettività dell'applicazione si implicano a vicenda.

Nel caso infinito questo cessa di essere vero. Ad esempio, considerando:

\displaystyle \mathbb{R}^{\infty}:=\{ (x_1,x_2, \dots )\quad x_i\in\mathbb{R}\quad\forall i\in\mathbb{N} \}

come spazio vettoriale su \mathbb{R} e l'applicazione f:\mathbb{R}^{\infty}\to \mathbb{R}^{\infty} che agisce "spostando" in avanti le coordinate e mettendo lo zero in prima posizione, cioè:

\displaystyle (x_1,x_2,\dots)\to(0,x_1,x_2,\dots)

è immediato mostrare che tale applicazione è lineare e iniettiva, ma banalmente non suriettiva.

Riformulazioni e generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

In linguaggio più moderno, il teorema può essere espresso nel seguente modo. Se:

 \displaystyle\ 0 \rarr U \rarr V \rarr R \rarr 0

è una successione esatta corta di spazi vettoriali, allora:

 \displaystyle\ \dim(U) + \dim(R) = \dim(V)

Qui R gioca il ruolo di \operatorname{Im}T e U è \operatorname{ker}T.

Nel caso finito-dimensionale questa formulazione è suscettibile di generalizzazione. Se:

 \displaystyle\ 0 \rarr V_1 \rarr V_2 \rarr \dots \rarr V_r \rarr 0

è una successione esatta di spazi vettoriali a dimensioni finite, allora:

\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0

Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita può anche essere formulato in termini degli indici di una mappa lineare. L'indice di una mappa lineare T:V \to W, dove V e W sono di dimensione finita, è definito da:

\operatorname{index} T = \dim (\operatorname{ker}T ) - \dim ( \operatorname{coker}T)

Intuitivamente, \dim\operatorname{ker}T è il numero di soluzioni indipendenti x dell'equazione Tx = 0, e \dim\operatorname{coker}T è il numero di restrizioni indipendenti che devono essere poste su y per rendere Tx = y risolvibile. Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita è equivalente all'espressione:

\operatorname{index} T = \dim(V) - \dim(W)

Si vede che possiamo facilmente leggere l'indice della mappa lineare T dagli spazi coinvolti, senza la necessità di esaminare T in dettaglio. Questo effetto si trova anche in un risultato molto più profondo: il teorema dell'indice di Atiyah-Singer afferma che l'indice di determinati operatori differenziali può essere letto dalla geometria degli spazi coinvolti.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 92
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 105
  3. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 176

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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