Teorema del rango

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema del rango, anche detto teorema di nullità più rango o teorema della dimensione, afferma che la somma della dimensione dell'immagine più la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è pari alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è pari al numero di colonne della matrice.

Enunciato

Il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali, con l'ipotesi che lo spazio vettoriale di partenza abbia dimensione finita. Data una applicazione lineare fra spazi vettoriali:

$f:V\to W\,\!$

il teorema stabilisce che vale la relazione:

$\dim \operatorname{Im}(f) + \dim \operatorname{Ker}(f) = n$

dove $\textrm{Im}(f)$ e $\textrm{Ker}(f)$ sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di $f$ e $n$ è la dimensione di $V$.

In modo equivalente, se $A$ è una matrice $m\times n$ allora:

$\operatorname {rk}(A) + \operatorname{null}(A) = n. \,\!$

L'equivalenza degli enunciati deriva dal fatto che ogni applicazione lineare $f : K^n \to K^ m\,\!$ può essere scritta nel seguente modo:

$f( \mathbf x) = A \mathbf x \$

dove A è la matrice di trasformazione associata ad $f$ rispetto ad una data base.

Il nucleo di f è lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato alla matrice A, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle sue colonne $A^1, \ldots, A^n$.

Dimostrazione

Poiché $V$ ha dimensione finita, il sottospazio vettoriale $\textrm{Ker}(f)$ ha anch'esso dimensione finita. Il nucleo ha quindi una base:

$B = (\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_r).\,\!$

Per il teorema della base incompleta esistono $\mathbf v_{r+1},\ldots,\mathbf v_n$ tali che:

$B'=(\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_r,\mathbf v_{r+1},\ldots,\mathbf v_n)\,\!$

sia una base di $V$. Per concludere è sufficiente mostrare che i vettori:

$f(\mathbf v_{r+1}),\ldots,f(\mathbf v_n)\,\!$

formano una base di $\textrm{Im}(f)$. L'immagine è generata dai vettori:

$f(\mathbf v_1),\ldots,f(\mathbf v_r),f(\mathbf v_{r+1}),\ldots,f(\mathbf v_n).\,\!$

I primi $r$ vettori sono però nulli, quindi l'immagine è generata dagli ultimi $n-r$ vettori:

$f(\mathbf v_{r+1}),\ldots,f(\mathbf v_n).\,\!$

Resta quindi da verificare che questi vettori siano linearmente indipendenti. Si suppone quindi data una combinazione lineare nulla:

$\lambda_{r+1}f(\mathbf v_{r+1})+\ldots+\lambda_{n}f(\mathbf v_n)=0.\,\!$

Per linearità si ottiene:

$f(\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n) = 0.\,\!$

Quindi:

$\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n\in \operatorname {Ker}(f).$

Poiché questo vettore sta nel nucleo, è esprimibile come combinazione lineare dei vettori $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_r$:

$\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n=\alpha_{1}\mathbf v_1+\ldots+\alpha_{n}\mathbf v_r.\,\!$

In altre parole:

$-\alpha_{1}\mathbf v_1-\ldots-\alpha_{n}\mathbf v_r+\lambda_{r+1}\mathbf v_{r+1}+\ldots+\lambda_{n}\mathbf v_n = 0.\,\!$

Poiché $(\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n)$ è una base di $V$, tutti i coefficienti qui presenti sono nulli. In particolare, $\lambda_j =0$ per ogni $j$. Quindi i vettori $f(\mathbf v_{r+1}),\ldots, f(\mathbf v_n)$ sono effettivamente indipendenti. L'immagine ha quindi dimensione $n-r$. Pertanto:

$\dim(\operatorname{Im}(f))= n-r = \dim(V)-\dim(\operatorname{Ker}(f)).\,\!$

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo

Il teorema del rango può essere visto come corollario al primo teorema di isomorfismo:

$V / \operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$,

dove $f\,$ è un omomorfismo di gruppi (in particolare, di spazî vettoriali) che agisce su V. Si ha infatti:

$\dim(V / \operatorname{Ker} f) = \dim(\operatorname{Im} f)$

$\dim(V) - \dim(\operatorname{Ker} f) = \dim(\operatorname{Im} f)$,

che è l'asserto del teorema.

Caso di dimensione infinita

Supponiamo il caso particolare in cui l'applicazione lineare è un endomorfismo, cioè una applicazione lineare dallo spazio V in sé stesso

$f:V\to V$

La relazione appena dimostrata

$\dim \operatorname{Im}(f) + \dim \operatorname{Ker}(f) = n$

dice che l'iniettività e la suriettività dell'applicazione si implicano a vicenda.

Nel caso infinito questo cessa di essere vero. Ad esempio considerando

$\displaystyle \mathbb{R}^{\infty}:=\{ (x_1,x_2,...)\quad x_i\in\mathbb{R}\quad\forall i\in\mathbb{N} \}$

come spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ e l'applicazione $f:\mathbb{R}^{\infty}\to \mathbb{R}^{\infty}$ che agisce "spostando" in avanti le coordinate e mettendo lo zero in prima posizione, cioè

$\displaystyle (x_1,x_2,...)\to(0,x_1,x_2,...)$

è immediato mostrare che tale applicazione è lineare e iniettiva, ma banalmente non suriettiva.

Riformulazioni e generalizzazioni

In linguaggio più moderno, il teorema può essere espresso nel seguente modo: se

$\displaystyle\ 0 \rarr U \rarr V \rarr R \rarr 0$

è una successione esatta corta di spazi vettoriali, allora

$\displaystyle\ \dim(U) + \dim(R) = \dim(V)$

Qui R gioca il ruolo di im T e U è ker T.

Nel caso finito-dimensionale questa formulazione è suscettibile di generalizzazione: se

$\displaystyle\ 0 \rarr V_1 \rarr V_2 \rarr ... \rarr V_r \rarr 0$

è una successione esatta di spazi vettoriali a dimensioni finite, allora

$\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0.$

Il teorema del rango per gli spazi vettoriali a dimensioni finite può anche essere formulato in termini degli indici di una mappa lineare. L'indice di una mappa lineare T : V → W, dove V e W sono a dimensioni finite, è definito da

indice T = dim(ker T) - dim(coker T).

Intuitivamente, dim(ker T) è il numero di soluzioni indipendenti x dell'equazione Tx = 0, e dim(coker T) è il numero di restrizioni indipendenti che devono essere poste su y per rendere Tx = y risolvibile. Il teorema del rango per gli spazi vettoriali a dimensioni finite è equivalente all'espressione

index T = dim(V) - dim(W).

Si vede che possiamo facilmente leggere l'indice della mappa lineare T dagli spazi coinvolti, senza la necessità di esaminare T in dettaglio. Questo effetto si trova anche in un risultato molto più profondo: il teorema dell'indice di Atiyah-Singer afferma che l'indice di determinati operatori differenziali può essere letto dalla geometria degli spazi coinvolti.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Philippe Ellia, Appunti di Geometria I, Bologna, Pitagora Editrice, 1997, ISBN 88-3710958-X

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