Completamento a base

In matematica, in particolare in algebra lineare, il completamento a base è un algoritmo utile a completare un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale ad una base dello spazio.

Il teorema di completamento della base

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$, di dimensione $n$. Il teorema di completamento a base, anche detto teorema della base incompleta, asserisce che se $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ sono vettori linearmente indipendenti in $V$ si ha:

• Il numero $k$ è minore o uguale a $n$.
• Se $k<n$ allora esistono $n-k$ vettori $\mathbf {v} _{k+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ tali che l'insieme ordinato $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{k+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ è base di $V$.

Dimostrazione e algoritmo

La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori $\mathbf {v} _{k+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$. Sia $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ un sottoinsieme di $V$ composto da vettori linearmente indipendenti. Si aggiunga al sottoinsieme una base nota $\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}$ dello spazio $V$. Si ottiene quindi l'insieme ordinato:

$S=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k},\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$

L'insieme $S$ genera tutto lo spazio $V$, ed è allora possibile applicare l'algoritmo di estrazione di una base. Questo algoritmo elimina, partendo da sinistra, quei vettori che sono dipendenti dai vettori precedenti. Poiché i primi $k$ sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori $\mathbf {w} _{i}$, ottenendo una base contenente $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$.

Esempio

I vettori $(2,1,0)$ e $(1,1,0)$ in $\mathbb {R} ^{3}$ sono indipendenti. Quindi esiste un terzo vettore che forma una base con questi due, e può essere trovato usando l'algoritmo di completamento. Si aggiunge quindi ai due vettori la base canonica:

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

L'algoritmo di estrazione mantiene i primi due vettori, quindi elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due: A - B = C, -1 (A) + 2 B = D), e tiene di conseguenza il quinto. Si ottiene quindi la base:

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Estrazione di una base
• Indipendenza lineare
• Span lineare