Matrice invertibile

In algebra lineare una matrice quadrata è detta invertibile o regolare se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

Definizione

Una matrice quadrata $A_{n \times n}$ è detta invertibile se esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che:

$AB = BA = I_n,$

dove $I_n$ denota la matrice identità ${n \times n}$ e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice $B$ è univocamente determinata da $A$ ed è chiamata l'inversa di $A$, indicata con $A^{-1}$.

Nella definizione, le matrici A e B hanno valori in un anello con unità.

Definizioni equivalenti

Una matrice $A$ è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se $A$ ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia $A$ una matrice quadrata ${n \times n}$ con valori in un campo $K$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice A invertibile:

• Esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che $BA = I_n$.
• Esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che $AB = I_n$.
• Il determinante non è nullo: $\det A \neq 0$.
• Il rango di $A$ è $n$.
• La trasposta $A^T$ è una matrice invertibile.
• L'equazione $Ax = 0$ (con $x$ e $0$ vettori colonna in $K^n$) ha solamente la soluzione banale $x = 0$.
• L'equazione $Ax = b$ ha esattamente una soluzione per ogni $b$ in $K^n$.
• Le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti.
• Le colonne di $A$ generano $K^n$.
• Le colonne di $A$ formano una base di $K^n$.
• L'applicazione lineare $L_A$ da $K^n$ in $K^n$ data da:

$L_A:x \mapsto Ax$

è iniettiva

• $L_A$ è suriettiva.
• $L_A$ è biiettiva.
• Il numero 0 non è un autovalore di $A$.
• $A$ è trasformabile nella matrice identità $I_n$ tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan.
• $A$ è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice con $n$ pivot.

Proprietà

Per approfondire, vedi gruppo generale lineare.

• L'inversa di una matrice invertibile $A$ è essa stessa invertibile, e si ha:

$(A^{-1})^{-1} = A \$

• Il prodotto di due matrici invertibili $A_{n\times n}$ e $B_{n\times n}$ è ancora invertibile, con inversa data da:

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \$

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili $n\times n$ costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare GL($n$).

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

• Se $A$ e $B$ sono invertibili, l'equazione $AX = B$ ha una sola soluzione, data da $X = A^{-1}B$. Analogamente $XA = B$ ha come unica soluzione $X = BA^{-1}$.

Matrici reali

Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici $n \times n$ è uno spazio vettoriale isomorfo a $\R^{n^2}$, e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

Matrice invertibile in un anello

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

Sistemi lineari

Per approfondire, vedi Sistema di equazioni lineari.

Se A è invertibile, l'equazione AX = B ha una sola soluzione, data da X = A^{− 1}B. Analogamente XA = B ha come unica soluzione X = BA^{− 1}.

Nel caso particolare in cui X e B abbiano dimensioni ${n \times 1}$, ovvero siano vettori colonna, l'equazione AX = B rappresenta un sistema lineare, dove A è la matrice dei coefficienti.

A è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.

Calcolo della matrice inversa

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile $A$.

Metodo della matrice dei cofattori

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice A quadrata e invertibile

$A = \begin{pmatrix} x_{1,1} & \ldots & x_{1,j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{i,1} & \ldots & x_{i,j} \\ \end{pmatrix}$

la sua inversa $A^{-1}$ è la seguente:

$A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}^{T}$

dove la notazione $\mathrm{det}(A)$ indica il determinante di A e l'esponente T indica l'operazione di trasposizione righe/colonne; la matrice

$\begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}$

è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici). Il cofattore in posizione $i,j$ è definito come:

$\mathrm{cof}(A,x_{i,j}) = (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{det}(\mathrm{minor}(A,i,j))$

dove $\rm minor(A,i,j)$ rappresenta il minore di A che si ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.

Il segno $(-1)^{i+j}$ varia nel modo seguente:

$\begin{pmatrix} + & - & + & \ldots\\ - & + & - & \ldots\\ + & - & + & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Matrici di rango 2

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile

$\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

è la seguente

$\begin{pmatrix} \frac{{d}}{{a}{d} - {b}{c}} & \frac{{-b}}{{a }{d} - {b}{c}}\\ \frac{{-c}}{{a}{d} -{b}{c}} & \frac{{a}} {{a}{d} - {b}{c}} \end{pmatrix} = \frac{1}{{a}{d} - {b}{c}}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$

Data invece una matrice 3 per 3 invertibile

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$,

la sua inversa è la seguente

$\frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

dove

$\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right).$

Algoritmo di Gauss-Jordan

L'algoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia A una matrice invertibile. Si costruisce la matrice B = (A | I) con n righe e 2n colonne affiancando A e la matrice identità I. A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova B. Questo algoritmo trasforma la matrice B in una matrice a scalini, che sarà del tipo (I | C). La matrice C così trovata è proprio l'inversa di A.

L'esempio seguente mostra che l'inversa di $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ è $C = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \| & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \| & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \| & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \| & -2 & 1 \end{pmatrix} \to$

$\begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \| & 8 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & 0 & \| & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \| & 8 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & \| & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \| & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per -2, nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per -4, nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per -2 e la seconda per 4. In questo modo si è partiti da una matrice di (A | I) e si è arrivati a (I | C). Si ha che C è l'inversa di $A$.

Inversa di una matrice partizionata

Data una matrice partizionata a blocchi:

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$,

in cui le sotto-matrici sulla diagonale $(A_{11}$ e $A_{22})$ sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di A risulta uguale a:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1}(I + A_{12}\, B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1}) & - A_{11}^{-1} A_{12}\,B_{22}\\ - B_{22} A_{21}A_{11}^{-1} & B_{22} \end{pmatrix}$

dove I è una matrice identità di ordine appropriato e:

$B_{22} = (A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1};$

ovvero:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & - B_{11} A_{12} A_{22}^{-1}\\ - A_{22}^{-1} A_{21} B_{11} & A_{22}^{-1}(I + A_{21} B_{11} A_{12}A_{22}^{-1}) \end{pmatrix}$

con

$B_{11} = (A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}.$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice involutoria

Collegamenti esterni

• Programma che calcola l'inversa di una matrice
• Programma parallelo in MPI per calcolare l'inversa di una matrice

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