Matrice invertibile

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In matematica, una matrice quadrata A_{n \times n} è detta invertibile o regolare se esiste una matrice B_{n \times n} tale che:

AB = BA = I_n,\,\!

dove In denota la matrice identità {n \times n} e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice B è univocamente determinata da A ed è chiamata l'inversa di A, indicata con A − 1.

Nella definizione, le matrici A e B hanno valori in un anello con unità.

Indice

[modifica] Definizioni equivalenti

Una matrice A è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se A ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia A una matrice quadrata {n \times n} con valori in un campo K (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice A invertibile:

L_A:x \mapsto Ax
è iniettiva

[modifica] Ulteriori proprietà e fatti

[modifica] Gruppo generale lineare

  • L'inversa di una matrice invertibile A è essa stessa invertibile, con
(A − 1) − 1 = A
  • Il prodotto di due matrici invertibili A_{n\times n} e B_{n\times n} è ancora invertibile, con inversa data da
(AB) − 1 = B − 1A − 1

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili n\times n costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare GL(n).

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

  • Se A e B sono invertibili, l'equazione AX = B ha una sola soluzione, data da X = A − 1B. Analogamente XA = B ha come unica soluzione X = BA − 1.

[modifica] Una matrice casuale è invertibile

Parlando in modo approssimativo, "quasi tutte" le matrici sono invertibili. Sul campo dei numeri reali, questa affermazione può essere precisata nel modo seguente: l'insieme di tutte le matrici n \times n è uno spazio vettoriale isomorfo a \R^{n^2} , e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero (perché è l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio). Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero.

[modifica] Il teorema della matrice invertibile in un anello

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

[modifica] Sistemi lineari

Se A è invertibile, l'equazione AX = B ha una sola soluzione, data da X = A− 1B. Analogamente XA = B ha come unica soluzione X = BA− 1. Nel caso particolare in cui X e B abbiano dimensioni {n \times 1}, ovvero siano vettori colonna, l'equazione AX = B rappresenta un sistema lineare, dove A è la matrice dei coefficienti. Un ragionamento analogo vale anche per XA = B, ma qui X e B devono essere vettori riga.

[modifica] Calcolo della matrice inversa

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile A.

[modifica] Metodo della matrice dei cofattori

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice A quadrata e invertibile

A = \begin{pmatrix} x_{1,1} & \ldots & x_{1,j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{i,1} & \ldots & x_{i,j} \\ \end{pmatrix}

la sua inversa A − 1 è la seguente:

A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}^{T}

dove la notazione det(A) indica il determinante di A e l'esponente T indica l'operazione di trasposizione righe/colonne; la matrice

\begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}

è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici). Il cofattore in posizione i,j è definito come:

\mathrm{cof}(A,x_{i,j}) = (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{det}(\mathrm{minor}(A,i,j))

dove minor(A,i,j) rappresenta il minore di A che si ottiene cancellando la riga j-esima e la colonna i-esima.

Il segno ( - 1)i + j varia nel modo seguente:

\begin{pmatrix} + & - & + & \ldots\\ - & + & - & \ldots\\ + & - & + & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

[modifica] Esempi

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile

\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}

è la seguente

\begin{pmatrix} \frac{{d}}{{a}{d} - {b}{c}} & \frac{{-b}}{{a }{d} - {b}{c}}\\ \frac{{-c}}{{a}{d} -{b}{c}} & \frac{{a}} {{a}{d} - {b}{c}} \end{pmatrix}

Data invece una matrice 3 per 3 invertibile

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix},

la sua inversa è la seguente

\frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix}

dove

\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right).

[modifica] Algoritmo di Gauss-Jordan

L'algoritmo di Gauss-Jordan può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia A una matrice invertibile. Si costruisce la matrice B = (A | I) con n righe e 2n colonne affiancando A e la matrice identità I. A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova B. Questo algoritmo trasforma la matrice B in una matrice a scalini, che sarà del tipo (I | C). La matrice C così trovata è proprio l'inversa di A.

L'esempio seguente mostra che l'inversa di A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} è C = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & \| & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \| & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \| & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \| & -2 & 1 \end{pmatrix} \to
\begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \| & 8 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & 0 & \| & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \| & 8 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & \| & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \| & 2 & -1 \end{pmatrix}

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

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