Spazio proiettivo

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In geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano) aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di retta proiettiva, piano proiettivo, ecc.

Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello euclideo o affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Punti all'infinito[modifica | modifica sorgente]

Sia  \mathbb R^n lo spazio euclideo  n -dimensionale. Ad esempio, per  n = 2 questo è semplicemente il piano cartesiano. Un "punto all'infinito" è la direzione indicata da una retta nello spazio, e da tutte le rette parallele ad essa. Quindi due rette definiscono lo stesso punto all'infinito se e solo se sono parallele.

Lo spazio proiettivo  n -dimensionale è l'unione di  \mathbb R^n e di tutti i suoi "punti all'infinito".

A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio, che due rette di uno stesso piano si intersecano sempre: se hanno la stessa direzione (cioè erano parallele prima dell'ampliamento), il loro punto di intersezione è quello all'infinito.

Rette passanti per l'origine[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio proiettivo è lo spazio visto da un occhio.

Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri in nessun modo. In effetti si può parlare sia di ampliamento proiettivo di uno spazio affine (si ottiene lo spazio proiettivo aggiungendo i punti all'infinito), oppure più facilmente si usa la seguente definizione.

Lo spazio proiettivo  n -dimensionale è definito come l'insieme delle rette in  \mathbb R^{n+1} passanti per l'origine.

Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le relazioni con la prospettiva.

Campo arbitrario[modifica | modifica sorgente]

Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno spazio vettoriale su un campo  K arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché molti teoremi di geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i complessi.

Lo spazio proiettivo  n -dimensionale su  K è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in  K^{n+1} . Cioè,

 \mathbb P^n(K) = (K^{n+1}\setminus\{0\})/_\sim

dove  \sim è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per l'origine, cioè se e solo se sono multipli:

 v \sim w \Longleftrightarrow v = kw per qualche  k \in K .

Ad esempio,  (1,2, -3) e  (-2,-4, 6) sono multipli e danno quindi luogo allo stesso punto.

Nel resto di questa voce lo spazio proiettivo è supposto definito in questo modo, dipendente da un campo  K .

Sottospazi[modifica | modifica sorgente]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Poiché uno spazio proiettivo è l'immagine di uno spazio vettoriale tramite la proiezione

 p : K^{n+1} \to \mathbb P^n(K)

indotta dalla relazione di equivalenza, molte nozioni degli spazi vettoriali si trasferiscono senza problemi sullo spazio proiettivo.

Un sottospazio proiettivo di  \mathbb P^n(K) è definito come l'immagine  p(W) di un sottospazio vettoriale  W di  K^{n+1} tramite  p .

La dimensione del sottospazio proiettivo  p(W) è definita come

\dim p(W) = \dim W -1.

In geometria, la codimensione di un sottospazio è generalmente definita come la dimensione dello spazio che lo contiene meno quella del sottospazio: ne segue che  W e  p(W) hanno la stessa codimensione

 {\rm codim\,} W = n+1 - \dim W = n-\dim p(W) = {\rm codim\,} p(W).

Un iperpiano proiettivo è un sottospazio di codimensione uno.

Dati due sottospazi  S e  T , è possibile definire i sottospazi intersezione e somma in modo analogo, come immagini tramite  p dei sottospazi intersezione e somma in  K^{n+1} .

Formula di Grassmann[modifica | modifica sorgente]

Una delle proprietà basilari valide in uno spazio proiettivo, ereditata dagli spazi vettoriali, ma che non è valida in uno spazio affine, è la formula di Grassmann per i sottospazi. Dati due sottospazi  S e  T , vale cioè l'uguaglianza

 \dim (S+T) = \dim S + \dim T - \dim (S\cap T)

dove si intende che il punto ha dimensione 0 (come sempre) e l'insieme vuoto ha dimensione  -1 .

Rette parallele[modifica | modifica sorgente]

Come conseguenza della formula di Grassmann, due rette nel piano si intersecano sempre. Infatti

 \dim (S\cap T) = \dim S + \dim T -\dim (S+T) = 1 + 1 - \dim(S+T) \geq 0

poiché S+T ha dimensione al più 2 (ogni sottospazio del piano ha dimensione al massimo 2, e 2 solo se è tutto il piano).

Coordinate omogenee e carte affini[modifica | modifica sorgente]

Coordinate omogenee[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi coordinate omogenee.

Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in  K^{n+1} . Come è usuale in matematica, una classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,

 [(x_0,\ldots, x_n)]

definisce la classe a cui appartiene il vettore  (x_0,\ldots, x_n) . Per brevità, tale classe si indica con

 [x_0, \ldots, x_n].

Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)

 [x_0, \ldots, x_n] = [y_0, \ldots, y_n]

se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un  k in  K tale che  y_i = k x_i per ogni  i .

Punti impropri[modifica | modifica sorgente]

Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a cui si aggiungono dei punti. Basta definire  E come il sottoinsieme formato dai punti  [x_0, \ldots, x_n] tali che  x_0 \neq 0 . Ogni punto in  E si scrive come

 [1, x_1,\ldots, x_n]

in modo univoco, e quindi tramite la funzione

 [1,x_1,\ldots, x_n] \mapsto (x_1, \ldots, x_n)

definiamo una corrispondenza biunivoca tra  E e lo spazio affine  K^n . I punti dello spazio proiettivo che non sono in  E hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo

 [0, x_1, \ldots, x_n]

e la funzione

 [0, x_1, \ldots, x_n] \mapsto [x_1 ,\ldots, x_n]

definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo  \mathbb P^{n-1}(K) di dimensione più piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta 'retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.

Carte e atlante[modifica | modifica sorgente]

La stessa descrizione è fattibile per ogni  i = 0,\ldots, n definendo  E_i come l'insieme dei punti la cui  i -esima coordinata è non nulla. Per ogni  i si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine  E_i .

Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli  E_i è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche. L'insieme

 \{E_0,\ldots, E_n \}

è detto atlante affine.

Definizione più astratta[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio proiettivo può essere definito in modo analogo a partire da un qualsiasi spazio vettoriale  V su un campo  K:

Lo spazio proiettivo associato a  V è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in  V . Cioè,

 \mathbb P(V) = (V\setminus\{0\})/_\sim

dove

 v \sim w \Longleftrightarrow v = kw per qualche  k \in K .

In questo contesto, la definizione data precedentemente corrisponde al caso in cui  V = K^n . In generale, lo spazio  V può avere anche dimensione infinita.

Esiste uno strumento simile alle basi che permette di assegnare ad ogni punto di  \mathbb P(V) delle coordinate omogenee, nel caso in cui  V abbia dimensione finita  n . Come per gli spazi vettoriali, non esiste un modo univoco di assegnare tali coordinate: queste dipendono dalla scelta di un riferimento proiettivo, l'analogo proiettivo delle basi.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica