Grassmanniana

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Tre piani distinti nello spazio, tutti passanti per l'origine. Ciascuno di questi piani è un punto nella grassmanniana.

In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale V è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata k. Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo

\operatorname{Gr}_k(V).

Per k=1 la grassmanniana è l'insieme delle rette in V, ovvero lo spazio proiettivo

\operatorname{Gr}_1(V) = \mathbb P(V).

Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Se V è lo spazio euclideo \R^n (ad esempio il piano cartesiano \R^2 oppure lo spazio tridimensionale \R^3) la grassmanniana è l'insieme dei sottospazi di dimensione k dello spazio.

Ad esempio,

\operatorname{Gr}_1(\mathbb R^2)

è l'insieme di tutte le rette nel piano passanti per l'origine, mentre

\operatorname{Gr}_1(\mathbb R^3)

è l'insieme di tutte le rette nello spazio passanti per l'origine. Inoltre

\operatorname{Gr}_2(\mathbb R^3)

è l'insieme di tutti i piani nello spazio passanti per l'origine. Poiché ogni piano è ortogonale nello spazio ad un'unica retta (sempre passante per O), c'è una naturale funzione biunivoca

f\colon\operatorname{Gr}_1(\mathbb R^3)\to \operatorname{Gr}_2(\mathbb R^3)

tra le due grassmanniane.

La grassmanniana più semplice che non sia isomorfa ad uno spazio proiettivo è l'insieme dei piani in uno spazio quadridimensionale:

\operatorname{Gr}_2(\mathbb R^4).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Se V è uno spazio di dimensione n finita su cui è definito un prodotto scalare non degenere, è possibile associare ad ogni sottospazio k-dimensionale W il suo ortogonale W^\perp, avente dimensione n-k. In questo modo il prodotto scalare definisce un isomorfismo fra le grassmanniane di dimensione complementare:

\operatorname{Gr}_k(V) \cong \operatorname{Gr}_{n-k}(V).

L'isomorfismo dipende dal prodotto scalare scelto.

Spazio proiettivo[modifica | modifica wikitesto]

La grassmanniana parametrizza i sottospazi vettoriali di dimensione k di V. Poiché tali sottospazi sono in naturale corrispondenza biunivoca con i sottospazi proiettivi (k-1)-dimensionali di \mathbb P(V), la grassmanniana parametrizza anche i sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La grassmanniana non parametrizza però i sottospazi affini.

Spazio omogeneo[modifica | modifica wikitesto]

La grassmanniana può essere definita nel modo seguente con gli strumenti dell'algebra. Il gruppo generale lineare GL(V) agisce sui k-sottospazi vettoriali di V in modo transitivo. Sia H lo stabilizzatore di un sottospazio (è un sottogruppo di GL(V)). Si può quindi scrivere

\operatorname{Gr}_k = \operatorname{GL}(V)/H.

Con questa definizione la grassmanniana risulta essere dotata automaticamente di alcune strutture aggiuntive. Se lo spazio vettoriale è reale o complesso, il gruppo GL(V) è un gruppo di Lie e la grassmanniana è conseguentemente una varietà differenziabile. In particolare, è uno spazio topologico: la topologia concretizza le nozioni di "vicinanza" e "lontananza" fra sottopazi e di "movimento continuo" di sottospazi.

Dalla definizione segue anche che la grassmanniana è uno spazio omogeneo: i suoi punti (cioè i sottospazi) sono moralmente indistinguibili.

Spazio compatto[modifica | modifica wikitesto]

La compattezza della grassmanniana è un fenomeno caratteristico della geometria degli spazi vettoriali e proiettivi. Non è presente in geometria affine, dove è possibile trovare una successione di piani paralleli sempre più lontani (e quindi non convergenti).

Nel caso in cui V sia reale o complesso, la grassmanniana è uno spazio topologico. Se V ha dimensione finita, la grassmanniana risulta essere uno spazio compatto.

Effettivamente, dopo aver scelto un prodotto scalare per V è possibile sostituire il gruppo generale lineare GL(V) con il gruppo ortogonale O(V), che è compatto. La grassmanniana risulta quindi compatta perché quoziente di un compatto. Nel caso complesso, si sceglie analogamente un prodotto hermitiano e si usa il gruppo unitario.

La compattezza testimonia il fatto seguente: una successione di k-sottospazi contiene sempre una sottosuccessione di elementi che convergono ad un preciso sottospazio. Questo fatto è quindi valido sia per i sottospazi vettoriali che per quelli proiettivi. Non è però vera nel caso affine a causa del parallelismo: una successione di piani paralleli sempre più lontani non ha nessuna sottosuccessione convergente.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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