Varietà differenziabile

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La nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensioni arbitrarie. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie che localmente assomiglia ad un piano, una varietà n-dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo n-dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale è definita mediante parametrizzazioni dotate di una struttura differenziabile che verrà descritta in seguito e che garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno "spazio tangente" della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Le varietà differenziabili sono gli elementi di base della geometria differenziale, punto d'incontro di analisi e topologia. Essenzialmente la teoria delle varietà differenziabili serve a trasferire su oggetti tipicamente descritti come spazi topologici i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale, definito generalmente sugli spazi euclidei. Lo studio delle varietà differenziabili è fondamentale in fisica, in quanto permette di definire campi vettoriali e flussi di fase su spazi non necessariamente piatti, ma trova innumerevoli applicazioni anche nella matematica pura, grazie alle interconnessioni con altre branche quali la topologia e la teoria dei numeri.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà topologica è uno spazio topologico di Hausdorff completamente separabile per il quale è possibile definire un ricoprimento  W = \{ W_i \} costituito da insiemi aperti tale che ogni aperto può essere messo in relazione con un aperto dello spazio euclideo attraverso un insieme di omeomorfismi detti carte. L'insieme degli omeomorfismi costituisce l'atlante. La composizione di funzioni costituita da una carta e la sua funzione inversa è detta funzione di transizione, e se si tratta di funzioni differenziabili la varietà è differenziabile.

Essendo ogni insieme aperto W_i isomorfo a un aperto di \mathbb{R}d, tutti i teoremi locali del calcolo differenziale ordinario si possono estendere direttamente alle varietà.

Sottovarietà[modifica | modifica wikitesto]

Una sottovarietà differenziabile N in una varietà differenziabile M è un sottoinsieme che può essere descritto localmente come zero di una funzione differenziabile:

f:U\to\R^k

dove U è un aperto di M e il cui differenziale (letto su qualsiasi carta) è ovunque suriettivo. Si tratta effettivamente anch'essa di una varietà differenziabile, avente codimensione k in M (cioè, se  \dim  M = n allora  \dim  N = n-k ). L'ipotesi di un differenziale suriettivo è necessaria per ottenere effettivamente una varietà differenziabile.

Nel caso k=1, la varietà è anche detta ipersuperficie, e la condizione sul differenziale è equivalente alla richiesta che il gradiente di f sia (su ogni carta) ovunque diverso da zero.

Intorno tubolare[modifica | modifica wikitesto]

Un importante risultato riguardante le sottovarietà è il teorema dell'intorno tubolare. Il teorema asserisce che ogni sottovarietà differenziabile N ha un intorno fatto come un tubo, cioè diffeomorfo ad un fibrato di dischi k-dimensionali su N.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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