Spazio pseudometrico
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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.
Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.
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[modifica] Definizione
Uno spazio pseudometrico (X,d) è un insieme X dotato di una funzione
chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni x,y,z in X:
.
(simmetria)
(disuguaglianza triangolare)
Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che d(x,y) sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti x e y.
[modifica] Esempi
Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma | | su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente
- d(v,w) = | v − w | .
Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.
[modifica] Quoziente
Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.
Due punti dello spazio pseudometrico X sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza
- d * ([x],[y]) = d(x,y)
risulta ancora ben definita anche al quoziente.
[modifica] Bibliografia
- (EN) L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
- (EN) A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4
