Spazio pseudometrico

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.

Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio pseudometrico (X,d) è un insieme X dotato di una funzione

d: X \times X \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}

chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni x,y,z in  X:

  1. \,\!d(x,x) = 0.
  2. \,\!d(x,y) = d(y,x) (simmetria)
  3. \,\!d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) (disuguaglianza triangolare)

Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che  d(x,y) sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti  x e  y .

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma || su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente

d(v,w) = |v-w|.

Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.

Quoziente[modifica | modifica sorgente]

Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.

Due punti dello spazio pseudometrico  X sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza

d^*([x],[y])=d(x,y)

risulta ancora ben definita anche al quoziente.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
  • (EN) A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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