Fibrato vettoriale

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Il nastro di Möbius ha una struttura di fibrato vettoriale su una circonferenza.

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa ad ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il fibrato tangente ed il fibrato cotangente sono due esempi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un fibrato vettoriale reale è un fibrato come fibra uno spazio vettoriale, cioè una funzione continua suriettiva p:E\to B fra spazi topologici tale che la controimmagine \scriptstyle {p^{-1}(x)} di ogni punto \scriptstyle {x\in B} – detta fibra - sopra il punto \scriptstyle {x} – sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di \scriptstyle {x}. Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto \scriptstyle {x} della base \scriptstyle {B} esiste un intorno aperto \scriptstyle {U} del punto \scriptstyle {x} e un omeomorfismo:

\phi:p^{-1}(U) \to U \times \R^k

tale che:

\mathrm{pr}_1\circ\phi = p

dove \scriptstyle{\mathrm{pr}_1} è la proiezione sul primo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo:

\phi|_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x') \to \lbrace x'\rbrace \times  \R^k

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto {x'} dell'aperto \scriptstyle {U}.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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