Fibrato vettoriale

Il nastro di Möbius ha una struttura di fibrato vettoriale su una circonferenza.

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa ad ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il fibrato tangente ed il fibrato cotangente sono due esempi.

Definizione

Un fibrato vettoriale reale è una funzione continua suriettiva

$p:E\to B$

fra spazi topologici tale che la controimmagine $p^{-1}(x)$ di ogni punto sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di $x$. Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto $x$ di $B$ esiste un intorno aperto $U(x)$ e un omeomorfismo

$\phi:p^{-1}(U(x)) \to \R^k \times U(x)$

tale che

$\pi\circ\phi = p$

dove $\pi$ è la proiezione sul secondo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo

$\phi|_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x') \to \R^k \times x'$

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto $x'$ dell'aperto $U(x)$.

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