Omologia (topologia)

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L'omologia è uno strumento matematico che "misura" la forma di un oggetto. Il risultato di questa misura è un oggetto algebrico, una successione di gruppi. Informalmente, questi gruppi codificano il numero ed il tipo di "buchi" presenti nell'oggetto.

L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica. È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione.

In topologia, l'omologia di uno spazio topologico X è un gruppo abeliano

H_i(X)

che informalmente misura il numero di "buchi i-dimensionali" dello spazio X. Un concetto analogo è il gruppo fondamentale.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

L'omologia di uno spazio topologico X è una successione di gruppi abeliani, che vengono indicati nel modo seguente:

H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots

Informalmente, il gruppo H_i(X) descrive i "buchi i-dimensionali" di X. Esistono vari modi (essenzialmente equivalenti) di definire l'omologia: si parla quindi a seconda del caso di omologia singolare, omologia simpliciale, etc.

Una circonferenza ha un "buco" 1-dimensionale, quindi ha il primo gruppo di omologia uguale a \mathbb Z.
Una sfera ha un buco bidimensionale, quindi ha il secondo gruppo di omologia uguale a \mathbb Z.

Un esempio fondamentale è fornito dalla sfera n-dimensionale, indicata in matematica con il simbolo S^n. Tale "sfera" è in realtà una circonferenza in dimensione n=1, ed è l'ordinaria superficie sferica per n=2. Può essere descritta come il luogo dei punti dello spazio euclideo (n+1)-dimensionale \R^{n+1} che soddisfa l'equazione seguente:

x_0^2 + x_1^2 + \ldots + x_n^2 = 1.

L'omologia della sfera S^n è la seguente:

H_i(S^n) = \left\{ \begin{array}{l} \mathbb Z {\rm\ se\ } i=0 {\rm\ oppure\ }i=n, \\ \{0\} {\rm\ altrimenti}.\,\!\end{array}\right.

I simboli \mathbb Z e \{0\} indicano rispettivamente il gruppo dei numeri interi ed il gruppo banale. L'omologia della sfera S^n è quindi banale per ogni i, tranne che per i valori 0 e n. La non-banalità per i=0 è un fatto generale, valido per ogni spazio topologico. L'informazione per i=n registra invece l'esistenza di un "buco" n-dimensionale.

Un cerchio non ha buchi: tutti i suoi gruppi di omologia sono banali (tranne i=0).

Questo buco n-dimensionale può essere "tappato" aggiungendo alla sfera la sua parte interna (ovvero la porzione di piano o spazio delimitata dalla sfera). La circonferenza diventa così un cerchio, e la sfera diventa una sfera solida, cioè una palla. In matematica, l'oggetto ottenuto tappando la sfera S^n è chiamato disco (o palla): è indicato con il simbolo D^n e può essere definito come il luogo dei punti che soddisfa la disequazione seguente:

x_0^2 + x_1^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant 1.

L'omologia del disco risente del fatto che il buco è stato tappato:

H_i(D^n) = \left\{ \begin{array}{l} \mathbb Z {\rm\ se\ } i=0, \\ \{0\} {\rm\ altrimenti}.\,\!\end{array}\right.

Tutti i gruppi di omologia (tranne quello con i=0) sono banali: informalmente, il disco non contiene buchi.

Il toro ha una omologia più complessa della sfera. Il gruppo H_1 è infatti \mathbb Z^2 = \mathbb Z \times \mathbb Z.
Questa superficie con 3 buchi ha una omologia ancora più complessa di quella del toro. Il gruppo di omologia H_1 è infatti \mathbb Z^6. Più in generale, il gruppo H_1 di una superficie di questo tipo con k buchi è \mathbb Z^{2k}.

Uno spazio topologico può avere più buchi di dimensioni diverse. Ad esempio il toro T ha tutti e tre i primi gruppi di omologia non banali:

H_0(T) = \mathbb Z, H_1(T) = \mathbb Z\times \mathbb Z, H_2(T) = \mathbb Z.

L'omologia è quindi usata in prima istanza come strumento per distinguere oggetti topologici.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'omologia di uno spazio topologico X è costruita tramite un procedimento algebrico abbastanza raffinato. Si costruisce a partire da X un complesso di catene C(X). Il complesso di catene è una successione di gruppi abeliani C_0, C_1, C_2, \ldots e di omomorfismi \partial_n:C_n \to C_{n-1} chiamati operatori di bordo. Tutti questi oggetti possono essere descritti da una catena di simboli nel modo seguente:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0

dove 0 indica il gruppo banale. Si richiede inoltre che la composizione di due operatori di bordo consecutivi sia nulla, cioè che per ogni n valga la relazione

 \partial_n \circ \partial_{n+1} = 0. \,\!

Ciò è equivalente a chiedere che l'immagine di \partial_{n+1} sia contenuta nel nucleo di \partial_n:

\operatorname{im}(\partial_{n+1})\subseteq\ker(\partial_n).

Se immagine e nucleo coincidono per ogni n la sequenza si dice esatta. Generalmente però questo non accade; l'omologia "misura" proprio quanto la successione sia lontana dall'essere esatta.

Poiché ogni gruppo C_{n} è abeliano, le immagini sono tutte sottogruppi normali ed è quindi possibile definire l'n-esimo gruppo di omologia come il gruppo quoziente

 H_n(X) = \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1}).

Viene spesso usata anche la notazione seguente

Z_n = \ker(\partial_n),\,\!
B_n = \operatorname{im}(\partial_{n+1}).

Gli elementi in Z_n e B_n sono chiamati rispettivamente cicli e bordi. L'omologia è quindi


H_n(X)=Z_n(X)/B_n(X).\,\!

Il complesso di catene C(X) può essere costruito in vari modi, ma l'omologia che ne risulta è generalmente equivalente. A seconda del metodo scelto per costruire C(X) si parla quindi di omologia simpliciale, singolare, cellulare, etc.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Funtorialità[modifica | modifica sorgente]

L'omologia è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella dei gruppi abeliani. In altre parole, l'omologia (ad ogni livello fissato k) associa ad ogni spazio X un gruppo H_k(X) in modo funtoriale: ogni funzione continua

f:X \to Y

induce un omomorfismo di gruppi

f_*:H_k(X) \to H_k(Y)

che soddisfa alcuni assiomi naturali:

  • se f è l'identità allora f_* è l'identità,
  • l'operazione "commuta" con la composizione: (f\circ g)_* = f_*\circ g_*.

Da questi due assiomi discendono ad esempio due fatti non banali:

Anello dei coefficienti[modifica | modifica sorgente]

L'omologia dipende, oltre che dal parametro k, anche dalla scelta di un anello A. I gruppi C_n del complesso di catene risultano essere dei moduli su A. Anche i gruppi di omologia H_k sono degli A-moduli e vengono indicati con il simbolo

H_k(X,A).

Nella maggior parte dei casi A è l'anello degli interi \mathbb Z oppure un campo. Se A è un campo i gruppi di omologia H_k sono degli spazi vettoriali e la loro dimensione (se finita) è detta numero di Betti:

b_k = \dim H_k(X, A).

Il numero di Betti b_k può essere interpretato grossolanamente come il "numero di buchi k-dimensionali" di X.

Se A è l'anello degli interi il gruppo di omologia H_k è un gruppo abeliano che può generalmente contenere elementi di torsione.

Omotopia[modifica | modifica sorgente]

L'omologia è invariante per omotopia: deformazioni continue di mappe e spazi lasciano l'omologia immutata. Più precisamente, due mappe

f,g:X\to Y

omotope inducono lo stesso omomorfismo

f_* = g_*:H_k(X) \to H_k(Y).

Tra le conseguenze di questo fatto:

Complessi di celle, varietà[modifica | modifica sorgente]

Se lo spazio topologico X è descrivibile come un complesso di celle è possibile calcolare l'omologia agevolmente usando l'omologia cellulare. Analogamente, se X è descrivibile come complesso simpliciale può essere usata l'omologia simpliciale.

Se X è un complesso con un numero finito di celle e l'anello di base A è un campo, valgono i fatti seguenti:

  • Lo spazio vettoriale H_k(X) ha dimensione finita b_k per ogni k.
  • Se n è la dimensione massima delle celle, allora b_i=0 per ogni i>n.

Con queste ipotesi è quindi ben definita la caratteristica di Eulero

\chi(X) = b_0 - b_1 + b_2 - \ldots + (-1)^n b_n.

La caratteristica di Eulero è un importante invariante dello spazio topologico X. A differenza dei numeri di Betti, la caratteristica non dipende dal campo A scelto.

Ad esempio, ogni varietà differenziabile compatta di dimensione n è descrivibile come complesso di celle finito.

Gruppo di indice zero[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo di omologia H_0(X) è sempre isomorfo a A^c, dove c è il numero di componenti connesse per archi dello spazio topologico X. In particolare, se X è connesso per archi vale l'isomorfismo seguente:

H_0(X) = A.

Gruppo di indice uno[modifica | modifica sorgente]

Se X è uno spazio connesso per archi, il gruppo di omologia intera di indice 1 è determinato dal gruppo fondamentale \pi_1(X) di X. Si tratta infatti dell'abelianizzato del gruppo fondamentale:

H_1(X,\mathbb Z) = \pi_1(X)/_{[X,X]}

ovvero \pi_1(X) quozientato per il più piccolo sottogruppo normale che contenga tutti i commutatori. Questo sottogruppo normale è indicato con [X,X]. Il quoziente è effettivamente un gruppo abeliano: in omologia tutti i gruppi sono abeliani, mentre il gruppo fondamentale in generale non lo è.

L'analogia con i gruppi di omotopia termina a questo livello: il secondo gruppo di omologia H_2 non è determinato dal secondo gruppo di omotopia \pi_2.

Gruppo di indice massimo[modifica | modifica sorgente]

Se X è una varietà di dimensione n, tutti i gruppi di omologia di indice superiore a n sono banali. Il gruppo di indice massimo H_n(X) è inoltre determinato da due condizioni topologiche: l'orientabilità e la compattezza di X. Se A è l'anello degli interi o un campo e X è connessa, vale il fatto seguente:

H_n(X) =
\begin{cases}
A & \mbox{ se } X \mbox{ compatta e orientabile} \\
\{0\} & \mbox{ altrimenti }
\end{cases}

Per "compatta" si intende "compatta senza bordo" (cioè chiusa).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Una varietà compatta (più in generale, un complesso di celle finito) di dimensione n ha tutti i gruppi di omologia di ordine maggiore di n banali. Per conoscere l'omologia di un tale spazio è quindi sufficiente elencarne i gruppi di ordine fino a n. L'omologia è definita su un anello A (generalmente, l'anello degli interi o un campo).

Sfere[modifica | modifica sorgente]

Come già accennato, l'omologia della sfera n-dimensionale S^n è la seguente:

H_0(S^n) = A, \ H_1(S^n) = \ldots = H_{n-1}(S^n) = \{0\}, \ H_n(S^n) = A.

Superfici[modifica | modifica sorgente]

Una superficie orientabile \Sigma_g compatta di genere g ha i seguenti gruppi di omologia:

H_0(\Sigma_g) = A, \ H_1(\Sigma_g) = \mathbb Z^{2g},\ H_2(\Sigma_g) = A.

Spazi proiettivi[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio proiettivo complesso \mathbb {CP}^n è una varietà di dimensione 2n. I suoi gruppi di omologia sono i seguenti.


H_i(\mathbb{CP}^n) =
\begin{cases}
A & i \mbox{ pari } \\
\{0\} & i \mbox{ dispari }
\end{cases}

Brevemente, i gruppi di ordine pari sono isomorfi ad A e quelli di ordine dispari sono banali.

L'omologia dello spazio proiettivo reale è più complicata: questa dipende infatti dall'anello A. Ad esempio, se A è l'anello degli interi si ottengono i gruppi seguenti:


H_i(\mathbb{RP}^n) =
\begin{cases}
\mathbb{Z} & i = 0 \mbox{ oppure } i = n \mbox{ dispari,}\\
\mathbb{Z}/2\mathbb {Z} & 0<i<n,\ i\ \mbox{dispari,}\\
0 & \mbox{altrimenti.}
\end{cases}

I gruppi di indice dispari sono quindi gruppi ciclici di ordine 2, tranne eventualmente l'ultimo. Lo spazio proiettivo reale è orientabile solo per n dispari: solo in questo caso il gruppo di omologia di ordine massimo n è isomorfo a \mathbb Z.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Teorema di Brouwer[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi teorema del punto fisso di Brouwer.
Se f non ha punto fisso, esiste una retrazione F della sfera sul bordo.

Con l'omologia è possibile dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua f:D^n\to D^n dal disco n-dimensionale in sé ha un punto fisso. La dimostrazione procede nel modo seguente: se per assurdo non esistesse un punto fisso, i punti x e f(x) sarebbero distinti per ogni x: intersecando la retta passante per questi due punti con il bordo del disco si costruisce una retrazione F:D^n \to S^{n-1} dal disco al suo bordo.

Non esiste però nessuna retrazione dal disco al suo bordo: una tale mappa infatti dovrebbe indurre una mappa suriettiva

F_*:H_k(D^n) \to H_k(S^{n-1})

in omologia. Questo è impossibile, perché per k=n-1 l'omologia del disco è banale e quella della sfera no.

Spazi non omeomorfi[modifica | modifica sorgente]

L'omologia è uno strumento utile a distinguere spazi topologici. Ad esempio, la sfera S^{2n} e lo spazio proiettivo complesso \mathbb{CP}^n sono due varietà della stessa dimensione 2n. Sono entrambe semplicemente connesse. Se n=1, gli spazi S^2 e \mathbb{CP}^1 sono effettivamente omeomorfi. Per n>1 però non lo sono, perché hanno omologie differenti: quella della sfera è sempre banale (tranne per k=0,2n) mentre quella dello spazio proiettivo è non banale per ogni k pari.

Strumenti[modifica | modifica sorgente]

Successione di Mayer-Vietoris[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi successione di Mayer-Vietoris.
L'omologia della sfera può essere calcolata rappresentando S^n come unione di due aperti A,B e usando la successione esatta.

La successione di Mayer-Vietoris è un importante strumento utile a calcolare l'omologia di uno spazio topologico X a partire da una sua "decomposizione": più precisamente, a partire da un suo ricoprimento in due aperti U,V. Similmente al teorema di Van Kampen per i gruppi fondamentali, la successione mette in relazione i gruppi di omologia degli spazi X, U, V e U\cap V. Le omologie di questi spazi formano una successione esatta lunga:

\begin{align}
\cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(U\cap V)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\
&\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (U\cap V)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(U)\oplus H_0(V)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0.
\end{align}

Se si conoscolo le omologie di U, V, U\cap V e le mappe naturali fra queste è quindi possibile dedurre l'omologia per X.

Formula di Künneth[modifica | modifica sorgente]

La formula di Künneth permette di calcolare l'omologia di un prodotto X\times Y a partire dalle omologie dei singoli fattori X e Y. Quando l'anello A è un campo, la formula è la seguente:

H_k(X \times Y) \cong \bigoplus_{i + j = k} H_i(X) \otimes H_j(Y).

La formula fa uso del prodotto tensoriale \otimes fra spazi vettoriali.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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