Omologia (topologia)

L'omologia è uno strumento matematico che "misura" la forma di un oggetto. Il risultato di questa misura è un oggetto algebrico, una successione di gruppi. Informalmente, questi gruppi codificano il numero ed il tipo di "buchi" presenti nell'oggetto.

L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica. È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione.

In topologia, l'omologia di uno spazio topologico $X$ è un gruppo abeliano

$H_i(X)$

che informalmente misura il numero di "buchi $i$-dimensionali" dello spazio $X$. Un concetto analogo è il gruppo fondamentale.

Descrizione

L'omologia di uno spazio topologico $X$ è una successione di gruppi abeliani, che vengono indicati nel modo seguente:

$H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots$

Informalmente, il gruppo $H_i(X)$ descrive i "buchi $i$-dimensionali" di $X$. Esistono vari modi (essenzialmente equivalenti) di definire l'omologia: si parla quindi a seconda del caso di omologia singolare, omologia simpliciale, etc.

Una circonferenza ha un "buco" 1-dimensionale, quindi ha il primo gruppo di omologia uguale a $\mathbb Z$.

Una sfera ha un buco bidimensionale, quindi ha il secondo gruppo di omologia uguale a $\mathbb Z$.

Un esempio fondamentale è fornito dalla sfera $n$-dimensionale, indicata in matematica con il simbolo $S^n$. Tale "sfera" è in realtà una circonferenza in dimensione $n=1$, ed è l'ordinaria superficie sferica per $n=2$. Può essere descritta come il luogo dei punti dello spazio euclideo $(n+1)$-dimensionale $\R^{n+1}$ che soddisfa l'equazione seguente:

$x_0^2 + x_1^2 + \ldots + x_n^2 = 1.$

L'omologia della sfera $S^n$ è la seguente:

$H_i(S^n) = \left\{ \begin{array}{l} \mathbb Z {\rm\ se\ } i=0 {\rm\ oppure\ }i=n, \\ \{0\} {\rm\ altrimenti}.\,\!\end{array}\right.$

I simboli $\mathbb Z$ e $\{0\}$ indicano rispettivamente il gruppo dei numeri interi ed il gruppo banale. L'omologia della sfera $S^n$ è quindi banale per ogni $i$, tranne che per i valori 0 e $n$. La non-banalità per $i=0$ è un fatto generale, valido per ogni spazio topologico. L'informazione per $i=n$ registra invece l'esistenza di un "buco" $n$-dimensionale.

Un cerchio non ha buchi: tutti i suoi gruppi di omologia sono banali (tranne $i=0$).

Questo buco $n$-dimensionale può essere "tappato" aggiungendo alla sfera la sua parte interna (ovvero la porzione di piano o spazio delimitata dalla sfera). La circonferenza diventa così un cerchio, e la sfera diventa una sfera solida, cioè una palla. In matematica, l'oggetto ottenuto tappando la sfera $S^n$ è chiamato disco (o palla): è indicato con il simbolo $D^n$ e può essere definito come il luogo dei punti che soddisfa la disequazione seguente:

$x_0^2 + x_1^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant 1.$

L'omologia del disco risente del fatto che il buco è stato tappato:

$H_i(D^n) = \left\{ \begin{array}{l} \mathbb Z {\rm\ se\ } i=0, \\ \{0\} {\rm\ altrimenti}.\,\!\end{array}\right.$

Tutti i gruppi di omologia (tranne quello con $i=0$) sono banali: informalmente, il disco non contiene buchi.

Il toro ha una omologia più complessa della sfera. Il gruppo $H_1$ è infatti $\mathbb Z^2 = \mathbb Z \times \mathbb Z$.

Questa superficie con 3 buchi ha una omologia ancora più complessa di quella del toro. Il gruppo di omologia $H_1$ è infatti $\mathbb Z^6$. Più in generale, il gruppo $H_1$ di una superficie di questo tipo con $k$ buchi è $\mathbb Z^{2k}$.

Uno spazio topologico può avere più buchi di dimensioni diverse. Ad esempio il toro $T$ ha tutti e tre i primi gruppi di omologia non banali:

$H_0(T) = \mathbb Z, H_1(T) = \mathbb Z\times \mathbb Z, H_2(T) = \mathbb Z.$

L'omologia è quindi usata in prima istanza come strumento per distinguere oggetti topologici.

Definizione

L'omologia di uno spazio topologico $X$ è costruita tramite un procedimento algebrico abbastanza raffinato. Si costruisce a partire da $X$ un complesso di catene $C(X)$. Il complesso di catene è una successione di gruppi abeliani $C_0, C_1, C_2, \ldots$ e di omomorfismi $\partial_n:C_n \to C_{n-1}$ chiamati operatori di bordo. Tutti questi oggetti possono essere descritti da una catena di simboli nel modo seguente:

$\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0$

dove $0$ indica il gruppo banale. Si richiede inoltre che la composizione di due operatori di bordo consecutivi sia nulla, cioè che per ogni $n$ valga la relazione

$\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0. \,\!$

Ciò è equivalente a chiedere che l'immagine di $\partial_{n+1}$ sia contenuta nel nucleo di $\partial_n$:

$\operatorname{im}(\partial_{n+1})\subseteq\ker(\partial_n).$

Se immagine e nucleo coincidono per ogni $n$ la sequenza si dice esatta. Generalmente però questo non accade; l'omologia "misura" proprio quanto la successione sia lontana dall'essere esatta.

Poiché ogni gruppo $C_{n}$ è abeliano, le immagini sono tutte sottogruppi normali ed è quindi possibile definire l'$n$-esimo gruppo di omologia come il gruppo quoziente

$H_n(X) = \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1}).$

Viene spesso usata anche la notazione seguente

$Z_n = \ker(\partial_n),\,\!$

$B_n = \operatorname{im}(\partial_{n+1}).$

Gli elementi in $Z_n$ e $B_n$ sono chiamati rispettivamente cicli e bordi. L'omologia è quindi

$H_n(X)=Z_n(X)/B_n(X).\,\!$

Il complesso di catene $C(X)$ può essere costruito in vari modi, ma l'omologia che ne risulta è generalmente equivalente. A seconda del metodo scelto per costruire $C(X)$ si parla quindi di omologia simpliciale, singolare, cellulare, etc.

Proprietà

Funtorialità

L'omologia è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella dei gruppi abeliani. In altre parole, l'omologia (ad ogni livello fissato $k$) associa ad ogni spazio $X$ un gruppo $H_k(X)$ in modo funtoriale: ogni funzione continua

$f:X \to Y$

induce un omomorfismo di gruppi

$f_*:H_k(X) \to H_k(Y)$

che soddisfa alcuni assiomi naturali:

• se $f$ è l'identità allora $f_*$ è l'identità,
• l'operazione "commuta" con la composizione: $(f\circ g)_* = f_*\circ g_*$.

Da questi due assiomi discendono ad esempio due fatti non banali:

• se $f$ è un omeomorfismo allora $f_*$ è un isomorfismo,
• se $f$ è una retrazione su un sottoinsieme $Y$ di $X$, allora $f_*$ è suriettiva (e l'inclusione $i:Y\to X$ induce una mappa $i_*$ iniettiva).

Anello dei coefficienti

L'omologia dipende, oltre che dal parametro $k$, anche dalla scelta di un anello $A$. I gruppi $C_n$ del complesso di catene risultano essere dei moduli su $A$. Anche i gruppi di omologia $H_k$ sono degli $A$-moduli e vengono indicati con il simbolo

$H_k(X,A).$

Nella maggior parte dei casi $A$ è l'anello degli interi $\mathbb Z$ oppure un campo. Se $A$ è un campo i gruppi di omologia $H_k$ sono degli spazi vettoriali e la loro dimensione (se finita) è detta numero di Betti:

$b_k = \dim H_k(X, A).$

Il numero di Betti $b_k$ può essere interpretato grossolanamente come il "numero di buchi $k$-dimensionali" di $X$.

Se $A$ è l'anello degli interi il gruppo di omologia $H_k$ è un gruppo abeliano che può generalmente contenere elementi di torsione.

Omotopia

L'omologia è invariante per omotopia: deformazioni continue di mappe e spazi lasciano l'omologia immutata. Più precisamente, due mappe

$f,g:X\to Y$

omotope inducono lo stesso omomorfismo

$f_* = g_*:H_k(X) \to H_k(Y).$

Tra le conseguenze di questo fatto:

• Due spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi di omologia isomorfi,
• Se un sottoinsieme $Y$ di $X$ è un retratto di deformazione di $X$, l'inclusione $i:Y\to X$ induce un isomorfismo in omologia.

Complessi di celle, varietà

Se lo spazio topologico $X$ è descrivibile come un complesso di celle è possibile calcolare l'omologia agevolmente usando l'omologia cellulare. Analogamente, se $X$ è descrivibile come complesso simpliciale può essere usata l'omologia simpliciale.

Se $X$ è un complesso con un numero finito di celle e l'anello di base $A$ è un campo, valgono i fatti seguenti:

• Lo spazio vettoriale $H_k(X)$ ha dimensione finita $b_k$ per ogni $k$.
• Se $n$ è la dimensione massima delle celle, allora $b_i=0$ per ogni $i>n$.

Con queste ipotesi è quindi ben definita la caratteristica di Eulero

$\chi(X) = b_0 - b_1 + b_2 - \ldots + (-1)^n b_n.$

La caratteristica di Eulero è un importante invariante dello spazio topologico $X$. A differenza dei numeri di Betti, la caratteristica non dipende dal campo $A$ scelto.

Ad esempio, ogni varietà differenziabile compatta di dimensione $n$ è descrivibile come complesso di celle finito.

Gruppo di indice zero

Il gruppo di omologia $H_0(X)$ è sempre isomorfo a $A^c$, dove $c$ è il numero di componenti connesse per archi dello spazio topologico $X$. In particolare, se $X$ è connesso per archi vale l'isomorfismo seguente:

$H_0(X) = A.$

Gruppo di indice uno

Se $X$ è uno spazio connesso per archi, il gruppo di omologia intera di indice 1 è determinato dal gruppo fondamentale $\pi_1(X)$ di $X$. Si tratta infatti dell'abelianizzato del gruppo fondamentale:

$H_1(X,\mathbb Z) = \pi_1(X)/_{[X,X]}$

ovvero $\pi_1(X)$ quozientato per il più piccolo sottogruppo normale che contenga tutti i commutatori. Questo sottogruppo normale è indicato con $[X,X]$. Il quoziente è effettivamente un gruppo abeliano: in omologia tutti i gruppi sono abeliani, mentre il gruppo fondamentale in generale non lo è.

L'analogia con i gruppi di omotopia termina a questo livello: il secondo gruppo di omologia $H_2$ non è determinato dal secondo gruppo di omotopia $\pi_2$.

Gruppo di indice massimo

Se $X$ è una varietà di dimensione $n$, tutti i gruppi di omologia di indice superiore a $n$ sono banali. Il gruppo di indice massimo $H_n(X)$ è inoltre determinato da due condizioni topologiche: l'orientabilità e la compattezza di $X$. Se $A$ è l'anello degli interi o un campo e $X$ è connessa, vale il fatto seguente:

$H_n(X) = \begin{cases} A & \mbox{ se } X \mbox{ compatta e orientabile} \\ \{0\} & \mbox{ altrimenti } \end{cases}$

Per "compatta" si intende "compatta senza bordo" (cioè chiusa).

Esempi

Una varietà compatta (più in generale, un complesso di celle finito) di dimensione $n$ ha tutti i gruppi di omologia di ordine maggiore di $n$ banali. Per conoscere l'omologia di un tale spazio è quindi sufficiente elencarne i gruppi di ordine fino a $n$. L'omologia è definita su un anello $A$ (generalmente, l'anello degli interi o un campo).

Sfere

Come già accennato, l'omologia della sfera $n$-dimensionale $S^n$ è la seguente:

$H_0(S^n) = A, \ H_1(S^n) = \ldots = H_{n-1}(S^n) = \{0\}, \ H_n(S^n) = A.$

Superfici

Una superficie orientabile $\Sigma_g$ compatta di genere $g$ ha i seguenti gruppi di omologia:

$H_0(\Sigma_g) = A, \ H_1(\Sigma_g) = \mathbb Z^{2g},\ H_2(\Sigma_g) = A.$

Spazi proiettivi

Lo spazio proiettivo complesso $\mathbb {CP}^n$ è una varietà di dimensione $2n$. I suoi gruppi di omologia sono i seguenti.

$H_i(\mathbb{CP}^n) = \begin{cases} A & i \mbox{ pari } \\ \{0\} & i \mbox{ dispari } \end{cases}$

Brevemente, i gruppi di ordine pari sono isomorfi ad $A$ e quelli di ordine dispari sono banali.

L'omologia dello spazio proiettivo reale è più complicata: questa dipende infatti dall'anello $A$. Ad esempio, se $A$ è l'anello degli interi si ottengono i gruppi seguenti:

$H_i(\mathbb{RP}^n) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i = 0 \mbox{ oppure } i = n \mbox{ dispari,}\\ \mathbb{Z}/2\mathbb {Z} & 0<i<n,\ i\ \mbox{dispari,}\\ 0 & \mbox{altrimenti.} \end{cases}$

I gruppi di indice dispari sono quindi gruppi ciclici di ordine 2, tranne eventualmente l'ultimo. Lo spazio proiettivo reale è orientabile solo per $n$ dispari: solo in questo caso il gruppo di omologia di ordine massimo $n$ è isomorfo a $\mathbb Z$.

Applicazioni

Teorema di Brouwer

Per approfondire, vedi teorema del punto fisso di Brouwer.

Se $f$ non ha punto fisso, esiste una retrazione $F$ della sfera sul bordo.

Con l'omologia è possibile dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua $f:D^n\to D^n$ dal disco $n$-dimensionale in sé ha un punto fisso. La dimostrazione procede nel modo seguente: se per assurdo non esistesse un punto fisso, i punti $x$ e $f(x)$ sarebbero distinti per ogni $x$: intersecando la retta passante per questi due punti con il bordo del disco si costruisce una retrazione $F:D^n \to S^{n-1}$ dal disco al suo bordo.

Non esiste però nessuna retrazione dal disco al suo bordo: una tale mappa infatti dovrebbe indurre una mappa suriettiva

$F_*:H_k(D^n) \to H_k(S^{n-1})$

in omologia. Questo è impossibile, perché per $k=n-1$ l'omologia del disco è banale e quella della sfera no.

Spazi non omeomorfi

L'omologia è uno strumento utile a distinguere spazi topologici. Ad esempio, la sfera $S^{2n}$ e lo spazio proiettivo complesso $\mathbb{CP}^n$ sono due varietà della stessa dimensione $2n$. Sono entrambe semplicemente connesse. Se $n=1$, gli spazi $S^2$ e $\mathbb{CP}^1$ sono effettivamente omeomorfi. Per $n>1$ però non lo sono, perché hanno omologie differenti: quella della sfera è sempre banale (tranne per $k=0,2n$) mentre quella dello spazio proiettivo è non banale per ogni $k$ pari.

Strumenti

Successione di Mayer-Vietoris

Per approfondire, vedi successione di Mayer-Vietoris.

L'omologia della sfera può essere calcolata rappresentando $S^n$ come unione di due aperti $A,B$ e usando la successione esatta.

La successione di Mayer-Vietoris è un importante strumento utile a calcolare l'omologia di uno spazio topologico $X$ a partire da una sua "decomposizione": più precisamente, a partire da un suo ricoprimento in due aperti $U,V$. Similmente al teorema di Van Kampen per i gruppi fondamentali, la successione mette in relazione i gruppi di omologia degli spazi $X$, $U$, $V$ e $U\cap V$. Le omologie di questi spazi formano una successione esatta lunga:

$\begin{align} \cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(U\cap V)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\ &\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (U\cap V)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(U)\oplus H_0(V)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0. \end{align}$

Se si conoscolo le omologie di $U, V, U\cap V$ e le mappe naturali fra queste è quindi possibile dedurre l'omologia per $X$.

Formula di Künneth

La formula di Künneth permette di calcolare l'omologia di un prodotto $X\times Y$ a partire dalle omologie dei singoli fattori $X$ e $Y$. Quando l'anello $A$ è un campo, la formula è la seguente:

$H_k(X \times Y) \cong \bigoplus_{i + j = k} H_i(X) \otimes H_j(Y).$

La formula fa uso del prodotto tensoriale $\otimes$ fra spazi vettoriali.

Bibliografia

• (EN) Hatcher, A., (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Introduzione dettagliata alla topologia algebrica e quindi alla omologia

Voci correlate

• Omotopia
• Gruppo di omotopia

Altri progetti

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