Spazio metrizzabile

In topologia, una branca della matematica, uno spazio topologico $(X,\tau)$ si dice metrizzabile se esiste su $X$ una metrica $d$ tale che la topologia indotta da $d$ è proprio $\tau$.

Gli spazi metrizzabili sono omeomorfi agli spazi metrici e ne inducono tutte le proprietà. Per esempio, sono spazi di Hausdorff, paracompatti e spazi ogni cui punto ha una base numerabile di intorni.

Esistono teoremi che assicurano condizioni sufficienti alla metrizzabilità di uno spazio:

• Teorema di Urysohn: Ogni spazio di Hausdorff, regolare e a base numerabile è metrizzabile.
• Teorema di Nagata-Smirnov: Uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e di Hausdorff ed ha una base finita σ-localmente.
• Teorema di Bing: Uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e T0 ed ha una base σ-discreta.

Uno spazio si dice localmente metrizzabile se ogni punto ha un intorno metrizzabile. Sempre di Smirnov è il risultato che uno spazio localmente metrizzabile di Hausdorff è metrizzabile se e solo se è paracompatto

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