Funzione propria

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In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione continua

f:X \to Y

fra spazi topologici è propria se la controimmagine f^{-1}(K) di ogni sottoinsieme compatto K di Y è un insieme compatto in X.

Successioni divergenti[modifica | modifica sorgente]

Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola

f(x) = x^2.

La controimmagine di un compatto connesso [-a^2, b^2] è infatti il compatto [0, b].

Una funzione limitata f\colon \R \to \R non è mai propria.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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