Teorema di Heine-Borel

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in \R^n. Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Heine-Borel afferma che se E\subseteq\R^n, allora E è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si dimostra il teorema in \R^2, è poi possibile estendere la dimostrazione in \R^n.

Si consideri un insieme A limitato, ovvero contenuto in una palla \emph B(x_0,r) a sua volta contenuta in una palla più grande \emph C(0,R). Si consideri una successione in A, che essendo in \R^2 avrà due coordinate:

X_k =(X_{k1},X_{k2}) , \forall k \in \N

e tale che:

\forall y \in B, d(y,X_o)<r \qquad d(y,0)\leq d(y,x_0) + d(x_0,0)<R

Si ha:

|X_{k1}| \leq d(X_k,0)\leq R \qquad |X_{k2}| \leq d(X_k,0)\leq R

Essendo quindi \emph X_{k1} limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:

X_{kh_1}\rightarrow X_{0_1}

Estraendo una sottosuccessione X_{kh_2} di \emph X_{k2} convergente, non è detto che converga per stessi indici di X_{kh_1}. Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:

X_{khj_1} \rightarrow X_{0_1} \qquad X_{khj_2} \rightarrow X_{0_2}

Si ha quindi:

X_k = (X_{khj_1},X_{khj_2}) \rightarrow (X_{0_1},X_{0_2})= X_0

Per dimostrare che \emph X_0 \in A, si considera una successione X_k appartenente ad A.

Per assurdo si ponga che X_0 \notin A e A^C. Se A è chiuso, Ac è aperto, quindi esiste una palla B(X0,D) contenuta in Ac. Esiste pertanto un k' tale che per k>k' Xk appartiene a B, il che è assurdo, perché Xk non può appartenere sia a B che ad A.

Corollari[modifica | modifica sorgente]

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in \R^n.

Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio f(x)=||x||-1), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di \R^n, essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.

Da ciò segue che \R^n, non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

Estensioni[modifica | modifica sorgente]

Spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.[1]

Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

Spazi vettoriali reali e complessi[modifica | modifica sorgente]

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Uno spazio metrico si definisce completo se ogni sua successione di Cauchy converge in esso (ossia, se la condizione di Cauchy per le serie è condizione sufficiente, oltreché necessaria, per la convergenza). Si dice totalmente limitato se per ogni ε>0 esiste un ricoprimento finito composto da palle di raggio ε.
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica