Teorema di Heine-Borel

In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in $\R^n$. Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

Il teorema

Il teorema di Heine-Borel afferma che se $E\subseteq\R^n$, allora $E$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

Dimostrazione

Si dimostra il teorema in $\R^2$, è poi possibile estendere la dimostrazione in $\R^n$.

Si consideri un insieme $A$ limitato, ovvero contenuto in una palla $\emph B(x_0,r)$ a sua volta contenuta in una palla più grande $\emph C(0,R)$. Si consideri una successione in $A$, che essendo in $\R^2$ avrà due coordinate:

$X_k =(X_{k1},X_{k2}) , \forall k \in \N$

e tale che:

$\forall y \in B, d(y,X_o)<r \qquad d(y,0)\leq d(y,x_0) + d(x_0,0)<R$

Si ha:

$|X_{k1}| \leq d(X_k,0)\leq R \qquad |X_{k2}| \leq d(X_k,0)\leq R$

Essendo quindi $\emph X_{k1}$ limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:

$X_{kh_1}\rightarrow X_{0_1}$

Estraendo una sottosuccessione $X_{kh_2}$ di $\emph X_{k2}$ convergente, non è detto che converga per stessi indici di $X_{kh_1}$. Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:

$X_{khj_1} \rightarrow X_{0_1} \qquad X_{khj_2} \rightarrow X_{0_2}$

Si ha quindi:

$X_k = (X_{khj_1},X_{khj_2}) \rightarrow (X_{0_1},X_{0_2})= X_0$

Per dimostrare che $\emph X_0 \in A$, si considera una successione $X_k$ appartenente ad $A$.

Per assurdo si ponga che $X_0 \notin A$ e $A^C$. Se A è chiuso, A^c è aperto, quindi esiste una palla B(X₀,D) contenuta in A^c. Esiste pertanto un $k'$ tale che per k>k' X_k appartiene a B, il che è assurdo, perché X_k non può appartenere sia a B che ad A.

Corollari

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in $\R^n$.

Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio $f(x)=||x||-1$), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di $\R^n$, essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.

Da ciò segue che $\R^n$, non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

Estensioni

Spazi metrici

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.

Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

Spazi vettoriali reali e complessi

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.

Note

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