Ipercubo

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Rappresentazione tridimensionale di un ipercubo quadridimensionale
Studio di un ipercubo di 4º livello costruito in prospettiva

L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare immersa in uno spazio di quattro o più dimensioni.

L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.

Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.

In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto ('dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi"): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo di dimensione n è il politopo C contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale \R^n, definito da

C = \{(x_1,\ldots,x_n)\ |\ |x_i|\leqslant 1\ \forall i=1,\ldots,n\}.

Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine (0,\ldots,0) appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.

Le facce k-dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di C con n-k iperpiani distinti di equazione del tipo

x_i = \pm 1.

Per k=0,1 una faccia k-dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.

Facce[modifica | modifica wikitesto]

Una k-faccia di un ipercubo n-dimensionale C è essa stessa un ipercubo, di dimensione k.

Vertici[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale C ha 2^n vertici: questi sono tutti i punti aventi +1 oppure -1 in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da

(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1)

ed il tesseratto ha 16 vertici.

Spigoli[modifica | modifica wikitesto]

L'ipercubo n-dimensionale C ha n2^n/2 spigoli. Il tesseratto, ad esempio, ha 32 spigoli.

Facce di dimensione generica k[modifica | modifica wikitesto]

Le facce di dimensione massima k=n-1 formano 2n sotto-ipercubi di dimensione n-1, dati dalle intersezioni di C con i 2n iperpiani di equazione x_i =\pm 1 , al variare di i=1,\ldots,n e del segno \pm 1 . Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali.

Si può dimostrare che il numero di facce k-dimensionali di un ipercubo n-dimensionale è uguale a {n-k\mbox{ numeri}} \atop {\overbrace{\frac{2n\cdot2(n-1)\cdot...\cdot2(k+1)}{(n-k)!}}}

Raccogliendo il 2, si ottiene: \frac{2^{n-k}\cdot n(n-1)\cdot...\cdot(k+1)}{(n-k)!}.

I termini n(n-1)\cdot...\cdot(k+1) si possono riscrivere come:\frac{n!}{k!}, quindi la formula diventa:

\frac{2^{n-k}n!}{k!(n-k)!}.

Tesseratto[modifica | modifica wikitesto]

Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.

Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche.

Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche.

La sua caratteristica di Eulero è 16-32+24-8=0.

Proiezione nel piano[modifica | modifica wikitesto]

Sviluppo di un ipercubo

Ogni ipercubo n-dimensionale è ottenuto "congiungendo" due ipercubi (n-1)-dimensionali paralleli. Infatti:

  • ipercubo unidimensionale: è un segmento AB, ottenuto congiungendo due punti A e B con una linea,
  • bidimensionale: due segmenti paralleli AB e CD possono essere congiunti formando un quadrato, con vertici denominati ABCD
  • tridimensionale: due quadrati paralleli ABCD ed EFGH possono essere congiunti formando un cubo, con i vertici denominati ABCDEFGH
  • quadridimensionale: due cubi paralleli ABCDEFGH ed IJKLMNOP possono essere congiunti formando un ipercubo, con vertici denominati ABCDEFGHIJKLMNOP.

Per questo motivo una proiezione del tesseratto nel piano è come in figura, realizzata congiungendo due cubi "paralleli".

Una rotazione del tesseratto lungo un piano in \R^4.
Una rotazione simultanea del tesseratto lungo due piani ortogonali in \R^4.

Sviluppo[modifica | modifica wikitesto]

Il tesseratto si può sviluppare in 8 cubi, proprio come un cubo si può sviluppare in 6 quadrati.

Rotazioni[modifica | modifica wikitesto]

Come ogni altro poliedro e politopo, il tesseratto può essere ruotato nello spazio quadri-dimensionale \R^4 in cui giace. L'effetto di una tale rotazione può essere visto in una proiezione del tesseratto nello spazio o nel piano, come mostrato nelle figure.

Dualità[modifica | modifica wikitesto]

Il politopo duale del tesseratto è l'iperottaedro.

Letteratura e cinema[modifica | modifica wikitesto]

Una casa - tesseract è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà nel muoversi nelle stanze e a spostarsi tra l'interno e l'esterno dell'innovativa abitazione. In particolare la casa è un ipercubo sviluppato nello spazio, perciò consta di 4 stanze cubiche disposte una sull'altra (4 piani) e quattro stanze disposte come dei balconi intorno alla stanza al primo piano. Il problema è che questa casa è costruita nei pressi della Faglia di Sant'Andrea, e mentre i visitatori sono tutti all'interno un terremoto "richiude" la casa su sé stessa (nella quarta dimensione) facendo sì che nessuno riesca più ad uscire.

Nel romanzo di Robert J. Sawyer "I transumani" (titolo originale Factoring Humanity) una professoressa dell'università di Toronto è impegnata nella sfida di decifrare un enigmatico messaggio alieno.

Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione.

Cinema[modifica | modifica wikitesto]

Fumetti[modifica | modifica wikitesto]

  • Nell'albo n° 63 di Dylan Dog Maelstrom, il raduno delle streghe si deve tenere in una casa che si rivela essere un tesseratto.

Origine del termine tesseratto (in originale tesseract)[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "tesseratto", riferito alla realtà spaziale in cui vive l'uomo, è stato coniato e usato per la prima volta da Hinton nel 1888 nel suo libro Una nuova era del pensiero[1]. Nel saggio Casting out of the self, del 1904, Hinton ha inventato anche il termine "katà" (dal greco: giù da) e "anà" (dal greco: su verso) per descrivere le direzioni quadridimensionali, nonché un sistema di cubi colorati con cui esercitarsi per arrivare a visualizzare la quarta dimensione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ fonte: Oxford English Dictionary

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]