Ipercubo
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L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare appartenente ad uno spazio di quattro o più dimensioni.
L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.
Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.
In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto ('dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi"): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.
Indice |
[modifica] Definizione
L'ipercubo di dimensione n è il politopo C contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale
, definito da
Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine
appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.
Le facce k-dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di C con n − k iperpiani distinti di equazione del tipo
Per k = 0,1 una faccia k-dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.
[modifica] Facce
Una k-faccia di un ipercubo n-dimensionale C è essa stessa un ipercubo, di dimensione k.
[modifica] Vertici
L'ipercubo n-dimensionale C ha 2n vertici: questi sono tutti i punti aventi + 1 oppure − 1 in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da
- (1,1,1),(1,1, − 1),(1, − 1,1),(1, − 1, − 1),( − 1,1,1),( − 1,1, − 1),( − 1, − 1,1),( − 1, − 1, − 1)
ed il tesseratto ha 16 vertici.
[modifica] Facce di dimensione massima
Le facce di dimensione massima k = n − 1 formano 2n sotto-ipercubi di dimensione n - 1, dati dalle intersezioni di C con i 2n iperpiani di equazione
, al variare di
e del segno
. Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali.
[modifica] Tesseratto
Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche.
Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche.
La sua caratteristica di Eulero è 16-32+24-8=0.
[modifica] Proiezione nel piano
Ogni ipercubo n-dimensionale è ottenuto "congiungendo" due ipercubi (n-1)-dimensionali paralleli. Infatti:
- ipercubo unidimensionale: è un segmento AB, ottenuto congiungendo due punti A e B con una linea,
- bidimensionale: due segmenti paralleli AB e CD possono essere congiunti formando un quadrato, con vertici denominati ABCD
- tridimensionale: due quadrati paralleli ABCD ed EFGH possono essere congiunti formando un cubo, con gli vertici denominati ABCDEFGH
- quadridimensionale: due cubi paralleli ABCDEFGH ed IJKLMNOP possono essere congiunti formando un ipercubo, con vertici denominati ABCDEFGHIJKLMNOP.
Per questo motivo una proiezione del tesseratto nel piano è come in figura, realizzata congiungendo due cubi "paralleli".
[modifica] Sviluppo
Il tesseratto si può sviluppare in 8 cubi, proprio come un cubo si può sviluppare in 6 quadrati.
[modifica] Rotazioni
Come ogni altro poliedro e politopo, il tesseratto può essere ruotato nello spazio quadri-dimensionale
in cui giace. L'effetto di una tale rotazione può essere visto in una proiezione del tesseratto nello spazio o nel piano, come mostrato nelle figure.
[modifica] Dualità
Il politopo duale del tesseratto è l'ipertetraedro di seconda specie.
[modifica] Narrativa
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Una casa - tesseract è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà a muoversi nelle stanze e tra l'interno e l'esterno della innovativa abitazione.
[modifica] Cinema
- Il cubo 2: Hypercube si svolge in una prigione costruita con una struttura ad ipercubo.
- Flatland (2007) è un film d'animazione del regista Jeffrey Travis, tratto dall'omonimo libro di Edwin Abbott Abbott.
[modifica] Curiosità
Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione. Il termine tesseract riferito alla realtà spaziale in cui vive l'uomo è stato coniato e usato per la prima volta da Hinton nel 1888 nel suo libro Una nuova era del pensiero[1]. Nel saggio Casting out of the self, del 1904, Hinton ha inventato anche il termine "katà" (dal greco: giù da) e " anà" (dal greco: su verso) per descrivere le direzioni quadridimensionali, nonché un sistema di cubi colorati con cui esercitarsi per arrivare a visualizzare la quarta dimensione.
[modifica] Note
- ^ fonte: Oxford English Dictionary
[modifica] Bibliografia
- Charles Howard Hinton, What Is the Fourth Dimension?, 1884.
- Edwin A. Abbott, Flatland - A Romance of Many Dimensions, 1884 (trad. it. Flatlandia - Racconto fantastico a più dimensioni, Adelphi, Milano, 1993)
- (FR) Gaston de Pawlowski, Voyage au pays de la quatrième dimension, 1^ ed. 1912, ed. Images Modernes, 2004, ISBN 9782913355248, ISBN 2913355242
- Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
- Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7
- Luigi Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1929, 1937, 1950. ISBN 143-225-237-3
- Robert Heinlein, "La casa nuova" in Claudio Bartocci (a cura di), Racconti matematici, Torino, Einaudi, 2006, ISBN 8806183214
[modifica] Voci correlate
- Politopi regolari
- Ipercubo bitroncato
- Ipercubo roncitroncato
- Penteratto
- Esseratto
- Etteratto
- Otteratto
- Enneratto
- Dimensione parallela





