Ipercubo

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Rappresentazione bidimensionale di un ipercubo quadridimensionale
Studio di un ipercubo di 4° livello costruito in prospettiva

L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare appartenente ad uno spazio di quattro o più dimensioni.

L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.

Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.

In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto ('dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi"): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.

Indice

[modifica] Definizione

L'ipercubo di dimensione n è il politopo C contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale \R^n, definito da

C = \{(x_1,\ldots,x_n)\ |\ |x_i|\leqslant 1\ \forall i=1,\ldots,n\}.

Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine (0,\ldots,0) appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.

Le facce k-dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di C con n − k iperpiani distinti di equazione del tipo

x_i = \pm 1.

Per k = 0,1 una faccia k-dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.

[modifica] Facce

Una k-faccia di un ipercubo n-dimensionale C è essa stessa un ipercubo, di dimensione k.

[modifica] Vertici

L'ipercubo n-dimensionale C ha 2n vertici: questi sono tutti i punti aventi + 1 oppure − 1 in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da

(1,1,1),(1,1, − 1),(1, − 1,1),(1, − 1, − 1),( − 1,1,1),( − 1,1, − 1),( − 1, − 1,1),( − 1, − 1, − 1)

ed il tesseratto ha 16 vertici.

[modifica] Facce di dimensione massima

Le facce di dimensione massima k = n − 1 formano 2n sotto-ipercubi di dimensione n - 1, dati dalle intersezioni di C con i 2n iperpiani di equazione x_i =\pm 1 , al variare di i=1,\ldots,n e del segno \pm 1 . Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali.

[modifica] Tesseratto

Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.

Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche.

Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche.

La sua caratteristica di Eulero è 16-32+24-8=0.

[modifica] Proiezione nel piano

Sviluppo di un ipercubo

Ogni ipercubo n-dimensionale è ottenuto "congiungendo" due ipercubi (n-1)-dimensionali paralleli. Infatti:

  • ipercubo unidimensionale: è un segmento AB, ottenuto congiungendo due punti A e B con una linea,
  • bidimensionale: due segmenti paralleli AB e CD possono essere congiunti formando un quadrato, con vertici denominati ABCD
  • tridimensionale: due quadrati paralleli ABCD ed EFGH possono essere congiunti formando un cubo, con gli vertici denominati ABCDEFGH
  • quadridimensionale: due cubi paralleli ABCDEFGH ed IJKLMNOP possono essere congiunti formando un ipercubo, con vertici denominati ABCDEFGHIJKLMNOP.

Per questo motivo una proiezione del tesseratto nel piano è come in figura, realizzata congiungendo due cubi "paralleli".

Una rotazione del tesseratto lungo un piano in \R^4.
Una rotazione simultanea del tesseratto lungo due piani ortogonali in \R^4.

[modifica] Sviluppo

Il tesseratto si può sviluppare in 8 cubi, proprio come un cubo si può sviluppare in 6 quadrati.

[modifica] Rotazioni

Come ogni altro poliedro e politopo, il tesseratto può essere ruotato nello spazio quadri-dimensionale \R^4 in cui giace. L'effetto di una tale rotazione può essere visto in una proiezione del tesseratto nello spazio o nel piano, come mostrato nelle figure.

[modifica] Dualità

Il politopo duale del tesseratto è l'ipertetraedro di seconda specie.

[modifica] Narrativa

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Una casa - tesseract è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà a muoversi nelle stanze e tra l'interno e l'esterno della innovativa abitazione.

[modifica] Cinema

[modifica] Curiosità

Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione. Il termine tesseract riferito alla realtà spaziale in cui vive l'uomo è stato coniato e usato per la prima volta da Hinton nel 1888 nel suo libro Una nuova era del pensiero[1]. Nel saggio Casting out of the self, del 1904, Hinton ha inventato anche il termine "katà" (dal greco: giù da) e " anà" (dal greco: su verso) per descrivere le direzioni quadridimensionali, nonché un sistema di cubi colorati con cui esercitarsi per arrivare a visualizzare la quarta dimensione.

[modifica] Note

  1. ^ fonte: Oxford English Dictionary

[modifica] Bibliografia

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7
  • Luigi Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1929, 1937, 1950. ISBN 143-225-237-3
  • Robert Heinlein, "La casa nuova" in Claudio Bartocci (a cura di), Racconti matematici, Torino, Einaudi, 2006, ISBN 8806183214

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

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