Ipercubo

Rappresentazione bidimensionale di un ipercubo quadridimensionale

Studio di un ipercubo di 4º livello costruito in prospettiva

L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica regolare immersa in uno spazio di quattro o più dimensioni.

L'ipercubo è un politopo (l'analogo multidimensionale di poligoni e poliedri), che generalizza in dimensione più alta i concetti di punto, segmento, quadrato e cubo, appartenenti rispettivamente alle dimensioni 0, 1, 2 e 3.

Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l'ipersfera e l'iperpiano. In alcuni testi il prefisso è sostituito dalla dimensione, e si parla quindi di n-cubo o n-sfera: un quadrato per esempio è un 2-cubo mentre un cubo è un 3-cubo.

In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto ('dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi"): è costituito da 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce 3-dimensionali cubiche.

Definizione

L'ipercubo di dimensione n è il politopo $C$ contenuto nello spazio euclideo n-dimensionale $\R^n$, definito da

$C = \{(x_1,\ldots,x_n)\ |\ |x_i|\leqslant 1\ \forall i=1,\ldots,n\}.$

Si tratta quindi dell'insieme formato da tutti i punti aventi coordinate tra -1 e 1. L'origine $(0,\ldots,0)$ appartiene all'ipercubo ed è il suo centro.

Le facce $k$-dimensionali dell'ipercubo sono le intersezioni non vuote di $C$ con $n-k$ iperpiani distinti di equazione del tipo

$x_i = \pm 1.$

Per $k=0,1$ una faccia $k$-dimensionale è chiamata rispettivamente vertice e spigolo.

Facce

Una $k$-faccia di un ipercubo $n$-dimensionale $C$ è essa stessa un ipercubo, di dimensione $k$.

Vertici

L'ipercubo n-dimensionale $C$ ha $2^n$ vertici: questi sono tutti i punti aventi $+1$ oppure $-1$ in ogni coordinata. Ad esempio, il cubo 3-dimensionale ha 8 vertici, dati da

$(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1)$

ed il tesseratto ha $16$ vertici.

Spigoli

L'ipercubo n dimensionale $C$ ha $n2^n/2$ spigoli. Il tesseratto, ad esempio, ha $32$ spigoli.

Facce di dimensione massima

Le facce di dimensione massima $k=n-1$ formano $2n$ sotto-ipercubi di dimensione $n-1$, dati dalle intersezioni di $C$ con i $2n$ iperpiani di equazione $x_i =\pm 1$, al variare di $i=1,\ldots,n$ e del segno $\pm 1$. Ad esempio, il quadrato ha 4 "facce" (gli spigoli), il cubo ha 6 facce (dei quadrati), ed il tesseratto ne ha 8: queste 8 facce sono cubi tridimensionali. Il numero di facce $k$-dimensionali è quindi uguale a ${n-k\mbox{ numeri}} \atop {\overbrace{\frac{2n\cdot2(n-1)\cdot...\cdot2(k+1)}{(n-k)!}}}$ Raccogliendo il $2$, si ottiene: $\frac{2^{n-k}\cdot n(n-1)\cdot...\cdot(k+1)}{(n-k)!}$. I termini $n(n-1)\cdot...\cdot(k+1)$ si possono riscrivere come:$\frac{n!}{k!}$, quindi la formula diventa:

$\frac{2^{n-k}n!}{k!(n-k)!}$.

Tesseratto

Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.

Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche.

Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche.

La sua caratteristica di Eulero è 16-32+24-8=0.

Proiezione nel piano

Sviluppo di un ipercubo

Ogni ipercubo n-dimensionale è ottenuto "congiungendo" due ipercubi (n-1)-dimensionali paralleli. Infatti:

• ipercubo unidimensionale: è un segmento AB, ottenuto congiungendo due punti A e B con una linea,
• bidimensionale: due segmenti paralleli AB e CD possono essere congiunti formando un quadrato, con vertici denominati ABCD
• tridimensionale: due quadrati paralleli ABCD ed EFGH possono essere congiunti formando un cubo, con i vertici denominati ABCDEFGH
• quadridimensionale: due cubi paralleli ABCDEFGH ed IJKLMNOP possono essere congiunti formando un ipercubo, con vertici denominati ABCDEFGHIJKLMNOP.

Per questo motivo una proiezione del tesseratto nel piano è come in figura, realizzata congiungendo due cubi "paralleli".

Una rotazione del tesseratto lungo un piano in $\R^4$.

Una rotazione simultanea del tesseratto lungo due piani ortogonali in $\R^4$.

Sviluppo

Il tesseratto si può sviluppare in 8 cubi, proprio come un cubo si può sviluppare in 6 quadrati.

Rotazioni

Come ogni altro poliedro e politopo, il tesseratto può essere ruotato nello spazio quadri-dimensionale $\R^4$ in cui giace. L'effetto di una tale rotazione può essere visto in una proiezione del tesseratto nello spazio o nel piano, come mostrato nelle figure.

Dualità

Il politopo duale del tesseratto è l'iperottaedro.

Letteratura e cinema

Una casa - tesseract è la protagonista del racconto matematico di Robert Heinlein La casa nuova. In questo racconto umoristico l'architetto e i suoi proprietari si trovano in difficoltà nel muoversi nelle stanze e a spostarsi tra l'interno e l'esterno dell'innovativa abitazione.

Nel romanzo di Robert J. Sawyer "I transumani" (titolo originale Factoring Humanity) una professoressa dell'università di Toronto è impegnata nella sfida di decifrare un enigmatico messaggio alieno.

Charles Howard Hinton ha dedicato la maggior parte della sua opera letteraria all'esplorazione della quarta dimensione.

Cinema

• Il cubo 2 - Hypercube (2002) si svolge in una prigione costruita con una struttura a ipercubo.
• Flatland (2007) è un film d'animazione del regista Jeffrey Travis, tratto dall'omonimo libro di Edwin Abbott Abbott.
• S. Darko (2009) presenta nelle scene finali alcuni tesseratti che cadono sulla Terra sotto forma di meteoriti.
• In Captain America - Il primo Vendicatore (2011) il nazista Johann Schmidt (Teschio Rosso) chiama Tesseract il Cubo Cosmico, un potentissimo artefatto cubico blu rinvenuto in Norvegia e in grado di fornire energia illimitata, che a detta di Schmidt faceva parte della collezione di Odino.
• Nel film The Avengers (2012), Loki, fratellastro malvagio di Thor, utilizza il Tesseract già visto nel film Captain America - Il primo Vendicatore per aprire un ponte spaziale, potendo così condurre i Chitauri sulla Terra, dichiarandole guerra.

Fumetti

• Nell'albo n° 63 di Dylan Dog Maelstrom, il raduno delle streghe si deve tenere in una casa che si rivela essere un tesseract.

Origine del termine tesseract

Il termine "tesseract", riferito alla realtà spaziale in cui vive l'uomo, è stato coniato e usato per la prima volta da Hinton nel 1888 nel suo libro Una nuova era del pensiero. Nel saggio Casting out of the self, del 1904, Hinton ha inventato anche il termine "katà" (dal greco: giù da) e "anà" (dal greco: su verso) per descrivere le direzioni quadridimensionali, nonché un sistema di cubi colorati con cui esercitarsi per arrivare a visualizzare la quarta dimensione.

Bibliografia

• Charles Howard Hinton, What Is the Fourth Dimension?, 1884.
• Edwin A. Abbott, Flatland - A Romance of Many Dimensions, 1884 (trad. it. Flatlandia - Racconto fantastico a più dimensioni, Adelphi, Milano, 1993)
• (FR) Gaston de Pawlowski, Voyage au pays de la quatrième dimension, 1ª ed. 1912, ed. Images Modernes, 2004, ISBN 978-2-913355-24-8, ISBN 2-913355-24-2
• Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
• Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7
• L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979. ISBN 88-203-0265-9
• Robert Heinlein, La casa nuova in Claudio Bartocci (a cura di), Racconti matematici, Torino, Einaudi, 2006, ISBN 88-06-18321-4

Voci correlate

• Politopi regolari
• Ipercubo bitroncato
• Ipercubo roncitroncato
• Penteratto
• Esseratto
• Etteratto
• Otteratto
• Enneratto
• Ipersfera
• Dimensione parallela
• Ipercubo unitario
• Teorema delle intersezioni dimensionali
• Sezioni ipercubiche ortoassiali

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Ruota un ipercubo nella 4ª-7ª dimensione
• (EN) Libri di narrativa di Charles Howard Hinton consultabili su ibiblio.org

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