Quarta dimensione

Con la definizione di quarta dimensione in generale ci si riferisce ad una dimensione immediatamente successiva alle tre dimensioni dello spazio reale (euclideo) ovvero una dimensione immediatamente successiva alle tre dimensioni spaziali percepite dall'uomo. Il tema della quarta dimensione abbraccia non solo i campi della matematica e della fisica ma anche quello della filosofia e della psicologia e, come corollario, anche quelli della letteratura e della fantascienza.

Nella poesia spicca la descrizione che fa Dante Alighieri dell'Empireo (nel XXVIII canto del "Paradiso"), nel quale (secondo autorevoli esperti) è rappresentata una descrizione ipersferica: ossia la sfera dell'universo materiale considerabile, e osservabile, al contempo internamente alla sfera empirea e contiguamente separata e parallela ad essa: "...dobbiamo pensare l'Empireo come qualcosa che circonda l'universo visibile e che è al tempo stesso adiacente a esso...". Che nell'Empireo, guardando i cori celesti illuminati dal fulgore divino, Dante, nella finzione poetica, sperimenti percettivamente aspetti tetradimensionali è dimostrato anche dallo spaesamento espresso dinanzi a quello spettacolo, per lui sublime ma fuori dalle normali aspettative sensibili, in quanto con forma e disposizioni impossibili per il mondo terrestre: "...E io a lei (qui si rivolge a Beatrice): se 'l mondo fosse posto come l'ordine ch'io veggio in quelle rote...udir convienmi ancor come l'essempio e l'essemplare non vanno d'un modo..." al che Beatrice conviene che "Se li tuoi diti non sono a tal nodo sufficienti, non è maraviglia..." cioè se non sei in grado di calcolare/elaborare quel che qui vedi è giustificato... Infatti per la vista tridimensionale la ricezione totale e diretta d'un luogo iperspaziale apparirebbe disorientante e illogica; tema ripreso con dovizia di particolari dal moderno racconto fantascientifico di Heinlein (vedi qui la sezione fantascientifica). Tali versi, relativi alla forma dello scenario offerto dalla visione dantesca, sembrano anticipare la concezione quadridimensionale che a quel tempo, storicamente, risulta sconosciuta.

Inoltre verso la fine del XIX secolo, quand'iniziò ad avere vasta risonanza, per buona parte in Gran Bretagna fra la cultura popolare e quella più colta, il riverbero del nuovo concetto geometrico si estese nell'ambito della metafisica, nella quale per almeno un paio di decenni fu inquadrata fra pratiche e credenze connesse allo "spiritismo" all'epoca in gran voga; usufruendo perfino del consenso di qualche illustre e importante scienziato: qual William Crookes e Wilhelm Weber. Non manca la sua influenza neppure nell'arte pittorica; essendo la quarta dimensione in parte implicata nel Cubismo, e nell'Espressionismo, come nella celebre opera di Picasso Ritratto di Dora Maar: in cui la figura ritratta par osservata in prospettiva tetradimensionale; mentre, in altro stile, riferimento alla quarta dimensione è centralmente espresso da Salvador Dalí nel dipinto: Corpus Hypercubus: dove Cristo è raffigurato crocifisso ad un "tesseract" (appunto un ipercubo aperto, o scomposto); figura geometrica ideata dal matematico Charles Howard Hinton.

Generalmente il tema della quarta dimensione si sdoppia in due tronconi di pensiero specifici:

• Il primo parte dallo studio della fenomenologia naturale che avviene misurando l'evolversi del fenomeno in ampiezza, altezza, profondità e tempo. Da questo ne scaturisce che, essendo le prime tre grandezze per definizione le tre dimensioni dello spazio, il tempo diventa a pieno titolo la quarta dimensione

• Il secondo, similmente al primo, parte dall'uso delle tre dimensioni del nostro spazio: altezza, ampiezza e profondità che sono ortogonali tra loro, ma tiene da parte il tempo da quest'insieme e definisce la quarta dimensione come una dimensione ortogonale alle altre tre. In pratica tale rappresentazione ideologica si rifà al modello di spazio euclideo esteso a quattro dimensioni.

Quest'ultima definizione porta in seguito a costruire le definizioni di dimensioni di ordine superiore alla quarta in un modo infinito ovvero ci induce a definire la n + 1-esima dimensione, come una dimensione ortogonale alle altre n.

In generale il termine "Iperspazio" denomina un insieme universale con dimensioni ulteriori alle tre spaziali più quella temporale (lo "spaziotempo" relativistico) e, nello specifico solo metrico: si definisce tetraspazio uno spazio con quattro dimensioni. In genere attualmente in fisica, quando non meglio specificato, si definisce "quinta dimensione" la quarta spaziale, per non confonderla appunto con quella temporale prima citata.

Cenni storici

Una concezione appena abbozzata, sebbene con prospettiva sovrannaturale, fu manifestata già in pieno 1600 in alcuni scritti del filosofo, seguace a Cambridge della scuola neoplatonica, Henry More (1614-1687), dove esso definì spessitudine una qualità e quantità già presente nella nostra sostanza vivente, ma non sensorialmente percepita poiché si estenderebbe in altra dimensione; una dimensione spaziale (in senso fisico e geometrico) contigua al nostro mondo, e sede, oltre che dell'anima dei defunti, di entità angeliche e d'altre esistenze incorporee (incluse le "idee" platoniche). Questa tematica venne poi ripresa da un aspetto dello spiritismo ottocentesco, soprattutto ad opera d'una minoranza di scienziati (anche importanti) inglesi e germanici. Il promotore dell'unione fra metafisica e scienza empirica, riguardo a proprietà e realtà del modello tetradimensionale, fu l'astronomo Johann Karl Friedrich Zöllner di Lipsia. Egli, che frequentava la terra inglese, si schierò a sostegno d'un presunto medium/paragnosta, Henry Slade, arrivato in Gran Bretagna dalla sua patria americana; e le dimostrazioni pubbliche di quest'ultimo, l'astronomo asserì che fossero frutto della facoltà d'entrare in contatto con il livello spirituale collocato in uno spazio tetradimensionale. Questa comunque era un'intuizione giusta, ché varie esibizioni proposte dal paragnosta potrebbero effettuarsi solo con la buona padronanza di dimensioni spaziali superiori: ad es. annodare anelli di corda senza muoverne i capi, o la rotazione destra-sinistra delle naturali circonvoluzioni sui gusci di conchiglia, inserire o estrarre oggetti da recipienti sigillati...(si avrebbe la stessa capacità con cui dalla nostra consueta terza dimensione agiamo su superfici e oggetti bidimensionali). Slade, supportato dalla fiducia in buona fede di Zöllner, si sottopose ad una serie di test con manipolazione d'oggetti vari, oggi parte normale dell'armamentario d'illusionisti e prestidigiatori, ma il suo esito fu insoddisfacente; rafforzando così definitivamente lo scetticismo, della maggioranza di scienziati, sulla connesione fra tali credenze e lo studio puramente geometrico delle iperdimensioni. Pur se Zöllner continuò a credergli e anche in sua difesa, nel 1878, espresse tali convinzioni esprimendole in "Fisica trascendentale" e in una pubblicazione sul "Quaterly journal of Science". Ma ovviamente gli scettici contestavano la validià del limitato numero di prove in cui Slade riuscì adducendone il risultato solo a trucchi e abilità teatrale.

A dare origine ai procedimenti, propriamente fisico/matematici, per definire una quarta dimensione fu, a cavallo degli ultimi anni del diciottesimo secolo e la prima metà del diciannovesimo, la ricerca da parte di alcuni scienziati riguardo alla validità del quinto postulato di Euclide. Alcuni, tra i quali annoveriamo Carl Friedrich Gauss, giunsero a dimostrare che c'erano situazioni in cui tale postulato non era valido. E nel 1846, Gustav Fechner compose il trattato intitolato " Perché lo spazio ha quattro dimensioni". Fu comunque Bernhard Riemann nel 1854, con la sua tesi di dottorato, a confermare in modo rigoroso che in effetti il quinto postulato non vale per uno spazio curvo. Dalla necessità di rispondere alla domanda: "Rispetto a che cosa si può curvare uno spazio a tre dimensioni?" si iniziò a discutere sulle possibilità di esistenza di ulteriori dimensioni.

E proprio in una conferenza passata alla storia, nel 1854, Riemann definì la prima proposta concreta per calcolare almeno alcune parti geometriche d'una figura a più dimensioni, qui precisamente del cubo. La sua idea è geniale ma semplice. Egli partì dal constatare come si possa applicare il teorema di Pitagora da una forma bidimensionale ad una cubica. Col teorema pitagorico può trovarsi la diagonale d'un quadrato, in quanto essa è l'ipotenusa dei 2 triangoli rettangoli componenti tale quadrato. Il ragionamento base è che se ai 2 lati del quadrato, corrispondenti a quelli dei triangoli che lo compongono, se ne aggiunge un altro e li si eleva al quadrato, come: a² + b² + c² = d², si ricava la diagonale d del cubo avente i 3 lati a,b,c. Quindi con stessa operazione se aggiungiamo un altro fattore d, intendendo che z sia la corrispondente diagonale da misurare, significa che ciò equivale a considerare aumentato d'una dimensione tale cubo: a² + b² + c² + d² = z². E il procedimento può continuare illimitatamente per N dimensioni. Dunque l'intuizione di Riemann rende pensabile determinare matematicamente almeno un elemento geometrico di qualche struttura con dimensioni spaziali ulteriori, pur se essa è per noi impossibile sia da disegnare che da visualizzare con l'immaginazione.

Questa risposta venne dal fisico Hermann von Helmholtz che, immediatamente dopo la lezione inaugurale di Riemann, dichiarò che aveva pensato alla possibilità di spazi multidimensionali. Prendendo spunto dalla dichiarazione di Helmhotz un suo collega di facoltà lo psicologo e fisiologo Gustav Fechner scrisse un breve racconto: Lo spazio a quattro dimensioni, in cui assunse che la quarta dimensione era il tempo. Fu in effetti Fechner, in questo racconto a dare l'avvio ad una descrizione di spazio quadrimensionale facendo un'analogia su come un essere bidimensionale potesse vedere le tre dimensioni.

La popolarizzazione dei concetti di spazi multidimensionali avvenne nel 1884 con la pubblicazione del libro Flatland: A romance of many Dimensions (in italia noto con il titolo Flatlandia) scritto dall'inglese Edwin Abbott. Da questo testo prese ispirazione anche Gaston De Pawlowsky che nel 1912 pubblicò, interamente, la sua opera intitolata Voyage au pays de la quatrième dimension.

Con la definizione della relatività, da parte di Albert Einstein, nel 1905 e i successivi studi e osservazioni sul comportamento della luce sotto il campo gravitazionale prodotto dal Sole, nel 1908 si ottennero fondati motivi per ritenere la quarta dimensione non solo un concetto teorico, ma anche una realtà. Einstein stesso, in quel periodo ideò il modello di spazio quadrimensionale in cui la quarta dimensione era il tempo.

Nel 1908 il matematico tedesco Hermann Minkowski, servendosi di nozioni di geometria non euclidea perfezionò un modello spaziotemporale indipendente dal sistema di riferimento.

Il suo pensiero prese le mosse dall'intuizione di Henri Poincaré riguardo alle trasformazioni di Lorentz, secondo cui esse sono rappresentabili con rotazioni del continuum di spazio e tempo, ma inserendovi una coordinata in più (come Δs² = c²Δt²-Δx²-Δy²-Δz²), sì che complessivamente il valore quantitativo risultante resti costante, secondo i diversi osservatori, per distanza spaziale e temporale fusa in un unico fattore: lo spazio-tempo. Minkowski concretizzò quest'idea in uno schema (diagrammi di Minkowski) formato da assi cartesiani in cui si rappresentano essenzialmente posizione dei corpi (quali punti materiali) e loro moti rispetto al tempo, ad esempio una coordinata spaziale x e l'altra x⁰=ct (c è la velocità del raggio di luce da cui dipende il conto del tempo t), in conseguenza l'evoluzione d'ogni singolo oggetto osservabile appare, ed e ben definibile, come una linea d'universo; e ciò proprio in virtù del contesto quadridimensionale (più tecnicamente: tetradimensionale) implicato. Così, in quest'elaborazione, gli effetti connessi alla dinamica fisico/empirica (e principalmente per campo elettromagnetico ed enegia cinetica) venendo riferiti in termini di vettori e tensori anch'essi quadridimensionali, e poiché le norme dei quadri-vettori sono invariabili: si mostrano, insieme alle leggi globali che li regolano, in modalità "invariante" rispetto ad ogni sistema di riferimento.

Suddetta impostazione, fra l'altro, concorre a ridimensionare qualche esagerazione culturale interpretativa dell'aggettivo "relativo" ("tutto è relativo", nel senso: nulla è oggettivo e costante) frequentemente addossato alla teoria einsteiniana.

Nel 1919 il matematico polacco Theodor Kaluza, studioso della teoria della relatività di Einstein propose, ricavandola da questa, un'ipotesi di quarta dimensione invisibile, perché in qualche modo limitata in dimensioni microscopiche. Kaluza propose ad Einstein questa sua idea e questi ne riconobbe la sua originalità nel 1921. Kaluza ed Einstein cercarono di approfondire tale teoria di dimensione extraspaziale ma solo nel 1926, il matematico svedese Oskar Klein riuscì ad approfondire quel modello di quarta dimensione spaziale. Klein propose una quarta dimensione arrotolata in modo da costituire un cerchio intorno ad ogni punto dello spazio. Tale cerchio avrebbe avuto un diametro di 10^-33 cm, cioè pari alla lunghezza di Planck.

La misura corrispondente a quella planckiana è ricavata calcolando che è l'unica necessaria per produrre il quanto di carica basilare riscontrato nell'elettrone. Detto arrotolamento (definito pentadimensionale, considerandovi inclusa la dimensione temporale), alle minime grandezze possibili, e così confinata nello spazio interno di tale micro-struttura, dà ragione dell'impercettibilità di quest'eventuale dimensione superiore; l'idea geometrica di fondo è che per determinare un'area pentadimensionale basta saldare ad ogni punto dello spaziotempo tetradimensionale (in senso relativistico) un cerchio: se ad esempio si volesse costruirne un'altra, con + 1 dimensione, allora andrebbe unita al suddetto spaziotempo una sfera. Nel primo sviluppo dell'ipotesi di Kaluza, tale cerchio per effetto quantico si completerebbe in un anello formato da concentriche onde quantistiche, ai vari livelli d'energia discreti permessi, le quali sarebbero l'origine delle particelle nucleari e sub-nucleari: quali loro correlate manifestazioni fenomeniche ("il cui quanto di carica dipenderebbe dal raggio del cerchio"). Questo tipo d'implicazione, d'una dimensione ulteriore, fu il primo coerente e ben determinato tentativo d'esplicare e unificare le forze fisiche (compresa la gravità), e corrispondenti oggetti quantistici, in modalità esclusivamente geometrica (questa fu sempre anche un'aspirazione Einstein); tentativo poi ripreso ed evoluto dalle varie teorie delle "stringhe" (o "corde") e "superstringhe".

Il tempo come quarta dimensione

Il considerare il tempo come quarta dimensione discende dalla ricerca per lo studio di funzioni in fisica matematica. Infatti molti fenomeni naturali variano sia al variare della posizione nello spazio che nel tempo. Perciò tale scelta ci sembra la più naturale da fare ma non è la realtà. Tale scelta conduce a considerare il tempo come quarta dimensione quando si parla di spazi multidimensionali con più di quattro dimensioni. La quarta dimensione non è rappresentabile ed è assolutamente scorretto considerare il tempo come tale. Tempo e spazio sono due concetti diversi. Se definissimo la quarta dimensione come il tempo allora il tempo si interpreterebbe come uno spazio, cosa che non è. Pensiamo ad un qualsiasi oggetto tridimensionale e facciamolo muovere. Il movimento di un solido non ci fa ottenere altri riferimenti spaziali se non la profondità, l'altezza e la base. In geometria Euclidea un punto definito su uno spazio a quattro dimensioni ha quattro coordinate e le coordinate non sono espresse da secondi, minuti od ore bensì da lunghezze spaziali.

In generale si conoscono due modelli principali di questo tipo di spazio quadrimensionale detto anche spazio-tempo:

• Il primo fu ideato nel 1905 da Einstein in concomitanza con le sue scoperte sulla teoria della relatività. Con questo modello Einstein introdusse nella storia della fisica la definizione di spazio-tempo. Tuttavia questo modello presentava il problema della dipendenza dal sistema di riferimento: due osservatori che si trovassero in moto l'uno rispetto all'altro potevano non essere d'accordo sulla simultaneità di eventi lontani.
• Il secondo, ideato nel 1908 da Minkowski, si basa sull'uso delle geometrie non euclidee e non presenta la dipendenza dal sistema di riferimento. In base a questo modello un evento è identificato da un punto universale in un continuo a quattro dimensioni.

Questo modello di spazio-tempo, successivamente adottato anche da Einstein, è quello tuttora più usato dai fisici.

Spazio euclideo a quattro dimensioni

Scelta questa come definizione per la quarta dimensione vediamo quali sono le caratteristiche che questa può avere. Per far questo bisogna vedere:

• cosa un mondo quadridimensionale può avere in comune con un mondo tridimensionale;
• cosa da un mondo tridimensionale si può dedurre che si possa incontrare in un mondo quadridimensionale;
• cosa comporterebbe un passaggio dall'uno all'altro dei mondi.

Per cominciare quest'attività occorre dare una serie di definizioni a cominciare da un sistema di riferimento nello spazio quadrimensionale.

Sistema di riferimento e coordinate nel tetraspazio

Senza perdita di generalità si considerano come prime tre dimensioni dello spazio quadridimensionale le analoghe del sistema tridimensionale: lunghezza, larghezza e altezza. La quarta dimensione sarà anche la quarta ad essere citata.

Sempre senza perdita di generalità, si assume che il sistema di riferimento sia cartesiano ortogonale. Questo è possibile poiché i concetti di punto, linea e retta sono validi anche per uno spazio quadrimensionale (si veda in seguito).

Si può estendere a questo spazio anche il concetto di metrica e quindi definirvi quelli di unità di misura e di direzione e verso analoghi a quelli in tre dimensioni. Questo comporta l'estensione al tetraspazio delle definizioni di spazio metrico e spazio vettoriale.

Un punto P di questo spazio sarà indicato con una quartupla (x,y,z,t). con x, y, z e t numeri reali.

Un vettore V sarà anch'esso rappresentato, in uno spazio vettoriale con la quartupla di coordinate

$[V_x,V_y,V_z,V_t].$

Per quanto riguarda le direzioni degli assi di regola il piano XY del sistema di riferimento è considerato perpendicolare al suolo e posto in modo tale che l'osservatore guardi in direzione dell'asse Z. In questo modo l'osservatore in un sistema quadridimensionale si muoverà a destra per le x positive, a sinistra per le x negative, in su per le y positive in giù per le y negative, in avanti per le z positive e in dietro per le z negative. Per quanto riguarda la direzioni "positiva" e "negativa" nella quarta dimensione si utilizzano rispettivamente i termini ana e kata (rispettivamente su e giù in greco antico).

Per indicare la coordinata relativa alla quarta dimensione viene spesso usata invece della lettera t la lettera w in modo che le coordinate di un punto quadrimensionale siano indicate con le ultime quattro lettere dell'alfabeto.

Definizioni e Proprietà

• Chiameremo iperspazio ogni spazio che abbia dimensioni superiori alla terza (in particolare chiameremo tetraspazio lo spazio a quattro dimensioni).
• Chiameremo "iperpiano" un insieme infinito e continuo di punti non curvato e non limitato in uno spazio n-dimensionale. Per esempio: un iperpiano monodimensionale è una retta, un iperpiano bidimensionale è un piano.
• Chiameremo ipersuperficie un insieme infinito e continuo di punti in uno spazio n-dimensionale. Per esempio: una ipersuperficie monodimensionale è una linea, una ipersuperficie bidimensionale è una superficie. Si può notare che un iperpiano è un particolare tipo di ipersuperficie.

Inoltre, qualsiasi superficie n-dimensionale divide in due parti distinte un iperpiano n + 1-dimensionale che la contiene.

• Chiameremo ipersfera il luogo dei punti dell'iperspazio equidistanti da un punto di questo. Questa coincide con la circonferenza nello spazio bidimensionale e con la sfera in quello tridimensionale.
• Chiameremo bulk di un solido quadrimensionale l'equivalente rispetto allo spazio a quattro dimensioni del volume di un solido rispetto allo spazio tridimensionale. Ad esempio il bulk di un ipercubo di lato L è L⁴.

Esempi di disposizioni e oggetti in un tetraspazio

Ipercubo

Per approfondire, vedi Ipercubo.

È il solido geometrico analogo di un cubo a tre dimensioni incrementate con una in più, in quanto i suoi lati (che convergono tutti ai suoi spigoli) hanno ugual misura e sono o paralleli o ortogonali tra di essi.

La quarta dimensione nella fantascienza

Uno dei più famosi racconti di fantascienza sulla "quarta dimensione" è "La casa nuova" titolo originale "And He built a Crooked House", di Robert Heinlein, pubblicato nell'antologia, curata da Fruttero e Lucentini "Le meraviglie del possibile" edizione Einaudi 1995. Nal racconto un architetto costruisce, per una coppia di suoi amici, una casa a quattro dimensioni, ma una volta entrati i tre vivranno le situazioni più strabilianti... dall'incontro con altri sé stessi... alle finestre che danno sulla strada come se fossero al centesimo piano di un grattacielo o, addirittura sul "niente"... i tre riusciranno a fuggire terrorizzati dalla casa dopo una serie di vicissitudini.

Coerentemente coi giusti presupposti geometrici, ai protagonisti, rimanendo essi tridimensionali, ogni area in cui si muovono all'interno della costruzione si presenta come infinita e ciclica: le stanze che compongono la struttura appaiono ripetersi interminatamente e collocate e connesse in modo del tutto incomprensibile secondo l'aspettativa razionale a tre dimensioni. E poiché essi s'affacciano alle finestre da una dimensione superiore abbracciano, con lo sguardo, una porzione spaziale del mondo esterno molto più ampia di quella comunemente osservabile, riuscendo a scorgerne anche i lati che normalmente restano nascosti secondo i criteri prospettici fisicamente consueti.

Bibliografia

• Donal O'Shea, La congettura di Poincarè, Rizzoli, 2008 [2007], ISBN 978-88-17-02357-3
• Martin Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, New York, Simon and Shuster Inc. 1959
• Rudy Rucker, La quarta dimensione Milano, Adelphi, 1984
• Lawrence M. Krauss La fisica di Star Trek , Milano, TEA,2002, ISBN 88-7818-804-2
• Lisa Randall Passaggi curvi, Cles-(TN), Mondadori printing S.p.A, 2007
• Paolo Schiannini (a cura di), Dizionario enciclopedico dei termini scientifici della Oxford University Press, Milano, RCS Rizzoli Libri S.p.A, 1990 ISBN 88-17-14522-X
• Alan e Sally Landsburg, Alla scoperta di antichi misteri,Milano, Arnoldo Mondadori Editore,1977
• Michio Kaku Iperspazio, Macro Edizioni 2009 (l'autore noto teorico delle Stringhe introduce a relatività e fisica subnucleare nell'ottica delle dimensioni iperspaziali fra cui la quarta).
• Robert Osserman Poesia dell'Universo, Longanesi&C. 1997 (l'autore, insigne matematico, illustra i fondamenti cosmologici e astrofisici evidenziando l'aspetto ipersferico dello spaziotempo universale).
• Walter E. R. Cassani Albert aveva ragione: Dio non gioca a dadi!, Colognola ai colli(VR), Demetra S.r.l,1998 ISBN 88-440-0974-5

Voci correlate

• Dimensione
• Dimensione parallela
• Spaziotempo
• Iperspazio
• Spazio di Minkowski
• Teorema delle intersezioni dimensionali
• Politopo
• Sezioni ipercubiche ortoassiali

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Collegamenti esterni

• http://www.torinoscienza.it/scienza_e_arte/approfondimenti/apri?obj_id=1262
• http://tetraspace.alkaline.org/