Dimensione
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La dimensione (dal Latino dimensio, "misura") è, essenzialmente, il numero di gradi di libertà disponibili per il movimento in uno spazio. Nell'uso comune, le dimensioni di un oggetto sono le misure che definiscono la sua forma e la sua grandezza. Questo significato è collegato all'uso che se ne fa in quest'articolo, ma se ne discosta sotto diversi aspetti.
[modifica] Dimensioni fisiche
Lo spaziotempo in cui viviamo appare quadridimensionale. Convenzionalmente (e nella maggior parte dei casi pratici è ragionevole) si separa in tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale. Possiamo muoverci in alto o in basso, a nord o a sud, a est o a ovest, e i movimenti in ogni direzione possono essere espressi in termini di questi tre movimenti. Un movimento verso il basso è equivalente a un movimento verso l'alto di una quantità negativa. Un movimento a nord-ovest è semplicemente una combinazione di un movimento a nord e di un movimento a ovest.
Il tempo è spesso indicato come 'quarta dimensione'. È in qualche modo differente dalle tre dimensioni spaziali dal momento che ne esiste solo una, e il movimento sembra possibile solo in una direzione. Al livello macroscopico i processi fisici non sono simmetrici rispetto al tempo. Invece a livello subatomico (scala di Planck), quasi tutti i processi fisici sono simmetrici rispetto al tempo (cioè le equazioni usate per descrivere questi processi sono le stesse indipendentemente dalla direzione del tempo), benché questo non implichi che le particelle subatomiche possano muoversi indietro nel tempo.
Teorie come la teoria delle stringhe predicono che lo spazio in cui viviamo ha molte più dimensioni (spesso 10, 11 o 26), ma che l'universo misurato lungo queste dimensioni aggiuntive ha grandezza subatomica.
Nelle scienze fisiche e in ingegneria, la dimensione di una grandezza fisica è l'espressione del tipo di unità di misura nella quale questa quantità è misurata. La dimensione della velocità, ad esempio, è lunghezza divisa per tempo. Nel sistema SI, la dimensione è data da sette esponenti fondamentali associati alle quantità fondamentali. Vedi analisi dimensionale.
[modifica] Dimensioni matematiche
In matematica, non esiste una definizione di dimensione che comprenda adeguatamente tutte le situazioni in cui vorremmo farne uso. Di conseguenza, i matematici hanno ideato molte definizioni di dimensione per diversi tipi di spazio. Tutte, comunque, sono in definitiva basate sul concetto di dimensione di uno spazio euclideo n, E n. Il punto E 0 è 0-dimensionale. La retta E 1 è 1-dimensionale. Il piano E 2 è 2-dimensionale. In generale E n è n-dimensionale.
Un tesserato o ipercubo è un esempio di un oggetto quadridimensionale. Come nota storica, si può ricordare che nella letteratura matematica del passato era assai utilizzato il termine iperspazio per designare spazi con più di 3 dimensioni.
Nel resto dell'articolo esaminiamo alcune delle più importanti definizioni di dimensione matematica.
[modifica] Spazi vettoriali, dimensione di Hamel
Per gli spazi vettoriali, c'è una nozione naturale di dimensione, vale a dire la cardinalità di una sua base. Vedere dimensione di Hamel per i dettagli.
[modifica] Varietà differenziabili
Una varietà differenziabile, topologica e connessa è localmente omeomorfa a un n- spazio euclideo, e il numero n definisce la dimensione della varietà. Si può dimostrare che in questo modo si ottiene una dimensione unicamente definita per ogni varietà differenziabile, topologica e connessa.
La teoria delle varietà, nel campo della topologia geometrica, è caratterizzata dal fatto che i casi in una o due dimensione sono relativamente elementari, i casi con dimensioni elevate (n > 4) sono semplificati dal fatto di avere dimensioni aggiuntive in cui lavorare, e i casi con n = 3 e 4 sono in un certo senso i più difficili. Questo stato delle cose è stato sottolineato dalla congettura di Poincaré, dove sono utilizzati quattro differenti metodi di dimostrazione.
[modifica] Dimensione di copertura di Lebesgue
Per ogni spazio topologico, la dimensione di copertura di Lebesgue è n se n è il più piccolo intero tale per cui vale la seguente condizione: ogni copertura di aperti ha un raffinamento (una seconda copertura nella quale ogni elemento è un sottoinsieme di un elemento della prima copertura) tale per cui nessun punto è incluso in più di n + 1 elementi. Per le varietà differenziabili, coincide con la dimensione menzionata sopra. Se non esiste n, allora la dimensione è infinita.
[modifica] Dimensione di Hausdorff
Per insiemi dotati di una struttura complessa, specialmente i frattali, la dimensione di Hausdorff è utile. La dimensione di Hausdorff è definita per tutti gli spazi metrici e, diversamente dalla dimensione di Hamel, può avere valori non interi.
[modifica] Spazi di Hilbert
Ogni spazio di Hilbert ammette una base ortonormale, e ognuna di tali basi ha la stessa cardinalità. Questa cardinalità definisce la dimensione dello spazio di Hilbert. Questa dimensione è finita se e solo se la dimensione di Hamel dello spazio è finita, e in questo caso le due dimensioni coincidono.
[modifica] Dimensione di Krull degli anelli commutativi
La dimensione di Krull di un anello commutativo (da Wolfgang Krull, 1899 - 1971), è definita come il massimo numero di inclusioni strette in una catena crescente di ideali primi nell'anello.
[modifica] Altre dimensioni
- Dimensione di una varietà algebrica
- Dimensione topologica
- Dimensione isoperimetrica
- Dimensione di Lyapunov
- Dimensione di Kaplan-Yorke
- Dimensione esteriore
- esponente di Hurst
[modifica] Bibliografia
- Thomas Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Second Edition, 1996, Freeman
- Clifford A. Pickover, Surfing through Hyperspace: Understanding Higher Universes in Six Easy Lessons, 1999, Oxford University Press
- Rudy Rucker, The Fourth Dimension, 1984, Houghton-Mifflin
- Edwin A. Abbott, Flatlandia (Flatland), 1884
