Dimensione topologica

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In matematica, la dimensione topologica o di Lebesgue è una nozione di dimensione che si applica a qualsiasi spazio topologico.

Come la dimensione di Hausdorff, la dimensione topologica dello spazio euclideo \R^n è n. Le due nozioni di dimensione però differiscono per spazi più complicati, come i frattali.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio topologico.

La dimensione topologica di X è il più piccolo intero n per cui ogni ricoprimento aperto di X ha un raffinamento in cui ogni punto è contenuto in al più n+1 insiemi.

Un ricoprimento aperto è una collezione di aperti U_i la cui unione è X. Un raffinamento è un'altra collezione di aperti V_j tale che ogni V_j è contenuto in almeno un U_i.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Retta reale[modifica | modifica sorgente]

Sia U_i un ricoprimento arbitrario della retta reale \R. Ciascun U_i è un aperto ed è quindi unione di intervalli aperti. Si può sempre trovare un raffinamento V_j fatto solo di intervalli aperti. Si può inoltre raffinare ulteriormente questo ricoprimento e fare in modo che questi intervalli si sovrappongano meno possibile, e cioè che tre intervalli non si intersechino mai. Da questa costruzione segue che la retta ha dimensione <= 1.

D'altra parte, la retta è connessa e quindi non può essere descritta come unione disgiunta di piccoli intervalli: non ha cioè dimensione zero. La retta ha quindi dimensione topologica 1.

Spazi euclidei[modifica | modifica sorgente]

Più in generale, lo spazio \R^n ha dimensione topologica n. La nozioni di dimensione di Hamel, topologica e di Hausdorff quindi coincidono per gli spazi vettoriali reali.

Grafi[modifica | modifica sorgente]

Un grafo avente un numero finito di vertici e spigoli ha dimensione topologica 1.

Frattali[modifica | modifica sorgente]

Una approssimanzione della spugna di Menger, un frattale avente dimensione topologica uno.

L'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero. Ha però dimensione di Hausdorff positiva, pari a \ln 2/\ln 3.

La spugna di Menger ha dimensione topologica uno. La spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione topologica 1 è contenuto in essa.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
  • A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
  • V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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