Topologia di Zariski

In matematica, e più precisamente in geometria algebrica, la topologia di Zariski (dal nome del matematico Oscar Zariski) è una topologia sullo spazio affine $\mathbb{A}^n_k$ i cui chiusi sono tutti e soli gli insiemi algebrici, cioè i luoghi dove si annullano contemporaneamente i polinomi di un ideale di $k[x_1, \dots, x_n]$. Si può costruire la topologia di Zariski anche sullo spazio proiettivo $\mathbb{P}^n_k$ considerando come chiusi gli insiemi algebrici proiettivi.

Peculiarità

Sia $X$ uno spazio affine o proiettivo con la topologia di Zariski, allora:

• $X$ non è uno spazio di Hausdorff;
• $X$ è uno spazio T1, in quanto i punti sono chiusi;
• $X$ è compatto e in particolare lo è ogni suo sottoinsieme chiuso;
• $X$ è uno spazio topologico irriducibile e in particolare gli aperti non vuoti di $X$ sono densi.

Limitatezza

La topologia di Zariski segue facilmente dalle prime proprietà dell'anello dei polinomi ed è utile in molte situazioni; tuttavia, senza una scelta accurata dei morfismi accettati, porta a risultati poco interessanti: ad esempio, due curve algebriche sono sempre omeomorfe, solo per avere la stessa cardinalità. Naturalmente, questo omeomorfismo non è un morfismo nel senso della geometria algebrica, ma questa scelta si pone al di sopra della topologia, non è intrinseca.

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