Anello dei polinomi

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In algebra astratta, l'anello dei polinomi costruiti a partire da un certo insieme A è una struttura algebrica contenente tutte le espressioni polinomiali a coefficienti in A.

Se A[X] è un dominio d'integrità, il suo campo dei quozienti è dato dall'insieme delle funzioni razionali a coefficienti nel campo dei quozienti di A.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Se A è un anello, si definisce come anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in A l'insieme

A^{(\N)}=\{(a_n)_{n \in \N} : a_n \in A, a_n =0 \mbox { per quasi tutti gli n} \},

cioè l'insieme delle successioni a valori in A definitivamente nulle. Tale insieme assume la struttura di anello se munito delle seguenti operazioni di somma e prodotto:

(a_n)_n + (b_n)_n := (a_n+b_n)_n
(a_n)_n \times (b_n)_n := (c_n)_n , \ c_n=\sum_{p+q=n}(a_p\cdot b_q)

La seconda operazione è esattamente il prodotto di Cauchy delle due successioni. Tale anello si denota in maniera standard con A[X] e i suoi elementi possono essere rappresentati come

p = a_m X^m + a_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + a_1 X + a_0,

dove X rappresenta un simbolo formale, che serve solo come "segnaposto" per indicare che il coefficiente a_m è l'm-esimo elemento della successione.

Anello dei polinomi in n variabili[modifica | modifica sorgente]

Si può definire l'anello dei polinomi in due variabili a coefficienti nell'anello A induttivamente: essendo A[X] esso stesso un anello, lo si può prendere come l'anello di provenienza dei coefficienti e definire dunque

A[X,Y]:=(A[X])[Y]

e, per n variabili,

A[X_1,...,X_n]:=R[X_n], , con R=A[X_1,...,X_{n-1}] .

Tale costruzione permette di allargare le proprietà che A[X] ereditava da A fino all'n-esima variabile; ad esempio, se A è un dominio, lo sarà anche A[X1,...,Xn] e così via.

Gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

 A[X,Y] \cong (A[X])[Y]\cong A[Y,X]\cong (A[Y])[X]

Rapporti tra A e l'anello dei polinomi[modifica | modifica sorgente]

Alcune proprietà dell'anello A si trasferiscono all'anello dei polinomi A[X], mentre altre no; le prime sono significative perché, per induzione, possono poi essere estese agli anelli di polinomi in qualunque numero di variabili. Un esempio è la presenza dell'unità: A[X] è un anello unitario se e solo se lo è A, così come A[X] è un dominio d'integrità se e solo se lo è A: se lo è A, infatti, il prodotto dei due monomi di grado massimo è ancora un monomio non nullo, unico con quel grado; viceversa, A è un sottoanello di A[X], formato dalle due costanti, e quindi non può possedere divisori dello zero.

Dal punto di vista della fattorizzazione, se A è un anello a fattorizzazione unica lo è anche A[X] (e quindi anche ogni  A[X_1,\ldots, X_n] ). La dimostrazione procede prima esaminando il caso in cui A è un campo: in questa situazione, è sempre possibile dividere i coefficienti dei monomi di grado massimo, e quindi è possibile la divisione tra polinomi, che rende A[X] un anello euclideo con la valutazione data dal grado del polinomio; bisogna notare tuttavia che A[X] non è un campo, e quindi A[X,Y] non è un anello euclideo: in effetti non è neppure un anello ad ideali principali, in quanto l'ideale (X,Y) non può essere generato da un singolo elemento. Passando poi ad un anello a fattorizzazione unica A generico, si nota che A[X] è un sottoanello di K[X], dove K è il campo dei quozienti di A; la tesi segue quindi dal lemma di Gauss, che afferma che un polinomio primitivo (ovvero il cui massimo comun divisore tra i coefficienti è 1) è irriducibile in A[X] se e solo se è irriducibile in K[X].

Un'altra importante proprietà che passa all'anello dei polinomi è la noetherianità: se A è un anello noetheriano, lo è anche A[X]. Tale risultato è noto come teorema della base di Hilbert.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 9788808162700


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