Spazio T1

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio T1 è uno spazio topologico che soddisfa il seguente assioma di separazione:

Per ogni coppia di punti x e y esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x.

Definizione equivalente[modifica | modifica sorgente]

Una condizione equivalente consiste nel chiedere che tutti i punti di X siano chiusi (cioè che sia chiuso ogni insieme fatto da un punto solo).

Dimostrazione dell'equivalenza[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo vera la prima definizione. Fissiamo x e lasciamo variare y. Per ogni y troviamo un aperto V che contiene y e non x. L'unione di tutti questi aperti è il complementare di x, ed è un aperto. Quindi il punto x è chiuso. Supponiamo ora vera la seconda. Due punti x e y sono chiusi, quindi i loro complementari V e U sono aperti e soddisfano le richieste della prima definizione.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Nella definizione non si chiede che gli aperti U e V siano disgiunti! Con questa richiesta più forte, lo spazio è infatti T2 o di Hausdorff.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • La topologia cofinita è la topologia meno fine fra quelle che soddisfano l'assioma T1 su un dato insieme.
  • Le topologie cofinite e di Zariski sono T1 ma non di Hausdorff se l'insieme è infinito.
  • Uno spazio T1 finito è necessariamente discreto.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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