Nodo torico

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Un nodo torico, specificato dal parametro (3,7).

In matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un nodo torico è un tipo di nodo, contenuto nella superficie del toro. Più in generale, un link torico è un link contenuto nella superficie torica.

Nomenclatura[modifica | modifica wikitesto]

Un link torico è identificato da una coppia di interi  (p,q) : la coppia sta a indicare che il link "gira"  p volte lungo il "meridiano" del toro e  q volte lungo la "longitudine". Il link è effettivamente un nodo (cioè ha una sola componente connessa) se (p,q) sono interi coprimi.

Diagramma del nodo torico  (3,8) .

Un nodo di tipo (p,q) può essere descritto concretamente come curva nello spazio nel modo seguente:

 f:[0,2\pi]\to\R^3
 f(\theta) = \left(\left(2+\cos\left(\frac{q\phi}{p}\right)\right)\cos\phi, \left(2+\cos\left(\frac{q\phi}{p}\right)\right)\sin\phi, \sin\left(\frac{q\phi}{p}\right)\right).

La curva giace nel toro determinato dall'equazione in coordinate cilindriche:

(r-2)^2 + z^2 = 1.

Il nodo torico (p,q) è banale se e solo se uno dei due interi p e q è uguale a 1. L'esempio più semplice di nodo torico non banale è quindi dato dalla coppia (2,3) : questo è il nodo a trifoglio.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni nodo torico è primo. I nodi (p,q) e (q,p) sono equivalenti.

Il complementare del nodo torico (p,q) ha gruppo fondamentale determinato dalla presentazione

\langle x,y \mid x^p = y^q\rangle.

Questo gruppo ha un centro non banale, isomorfo al gruppo \Z degli interi, generato dall'elemento x^p = y^q. I nodi torici sono gli unici nodi il cui gruppo fondamentale ha un centro non banale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Dale Rolfsen (1976). Knots and Links. Berkeley: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-16-0.


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