Mapping class group

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In matematica, e più precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di applicazioni) è un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, è un gruppo discreto di "simmetrie" dello spazio.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il termine "mapping class group" ha un utilizzo flessibile; nella maggior parte dei casi è usato riferendosi a una varietà M. Il mapping class group di M viene interpretato come il gruppo delle classi di isotopia degli automorfismi di M. Cioè, se M è una varietà topologica, il mapping class group di M è il gruppo delle classi di isotopia degli omeomorfismi da M in sé; se M è una varietà differenziabile, il mapping class group è il gruppo delle classi di isotopia dei diffeomorfismi da M in sé.

Ogni volta che \mathrm{Aut}(X) (il gruppo degli automorfismi di uno spazio X) possiede una topologia naturale (nel caso di X spazio topologico, generalmente si tratta della topologia compatto-aperto), il mapping class group di uno spazio X è definito come il gruppo quoziente \mathrm{Aut}(X)/\mathrm{Aut}_0(X), dove \mathrm{Aut}_0(X) è la componente connessa di id_X, e assume quindi la topologia quoziente.

Nella letteratura riguardante la topologia in dimensione bassa, il mapping class group di X viene denotato di solito con MCG(X). Altre volte viene denotato \pi_0 Aut(X), sostituendo ad Aut la nozione appropriata di automorfismo per la categoria di cui X è un oggetto. \pi_0 in questo contesto denota lo 0-esimo gruppo di omotopia di uno spazio.

Si ha quindi la seguente successione esatta corta:

1 \rightarrow {\rm Aut}_0(X) \rightarrow {\rm Aut}(X) \rightarrow {\rm MCG}(X) \rightarrow 1.

la quale, frequentemente, non spezza [1].

Se si sta lavorando nella

categoria di omotopia, il mapping class group di X è il gruppo delle classi di omotopia di equivalenze di omotopia di X.

Varianti[modifica | modifica sorgente]

Vi sono molti sottogruppi dei mapping class group che sono frequentemente studiati. Se M è una varietà orientata, Aut(M) può essere considerato come il gruppo degli omeomorfismi o diffeomorfismi di M che ne preservano l'orientazione: è questa la definizione standard del mapping class group di una varietà orientata, chiamato anche gruppo modulare (\mathrm{Mod}(M)), visto come generalizzazione del gruppo modulare classico. Il mapping class group definito a partire da omeomorfismi o diffeomorfismi che non preservano necessariamente l'orientazione è detto talvolta mapping class group generalizzato (e viene denotato {\rm MCG}^\pm(M) o {\rm Mod}^\pm(M)). Chiaramente {\rm Mod}(M) è un sottogruppo di {\rm MCG}^\pm(M), di indice 2 se M ammette almeno un automorfismo che ne inverte l'orientazione.

Analogamente, il sottogruppo del mapping class group che agisce banalmente sull'omologia di M è detto gruppo di Torelli di M; può essere considerato come il mapping class group definito a partire dagli automorfismi di una varietà marcata non con un'orientazione ma tramite l'omologia.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Sfera[modifica | modifica sorgente]

In qualunque categoria (differenziabile, lineare a tratti, topologica, di omotopia)[2] vale

 {\rm MCG}^\pm(S^2) \simeq {\mathbb Z}/2{\mathbb Z},

corrispondente alle applicazioni di grado \pm 1.

Toro[modifica | modifica sorgente]

Nella categoria dell'omotopia,

 {\rm MCG}(T^n) \simeq {\rm GL}(n, {\mathbb Z}).

Ciò è dovuto al fatto che T^n = (S^1)^n è uno spazio di Eilenberg-MacLane.

Per n \geq 5 [3], ci sono successioni esatte che spezzano:

0\to \mathbb Z_2^\infty\to MCG(T^n) \to GL(n,\mathbb Z)\to 0
0\to \mathbb Z_2^\infty\oplus\binom n2\mathbb Z_2\to MCG (T^n)\to GL(n,\mathbb Z)\to 0
0\to \mathbb Z_2^\infty\oplus\binom n2\mathbb Z_2\oplus\sum_{i=0}^n\binom n i\Gamma_{i+1}\to MCG(T^n)\to GL(n,\mathbb Z)\to 0

dove i \Gamma_i sono i gruppi abeliani finiti di Kervaire-Milnor delle sfere di omotopia, e \mathbb Z_2 è il gruppo di ordine 2.

Superfici orientabili[modifica | modifica sorgente]

I mapping class group delle superfici sono stati ampiamente studiati. Citiamo qui solo alcuni risultati:

  • se S è una varietà senza bordo, si definisce il mapping class group puro di S come il sottogruppo di {\rm Mod}(S) degli automorfismi che fissano ogni puntura di S. il teorema di Dehn afferma che tale sottogruppo è generato da un numero finito di Dehn twists attorno a curve su S che non la sconnettono.
  • è noto che ogni gruppo finito è sottogruppo del mapping class group di un'opportuna superficie orientabile e chiusa[4]. Inoltre è possibile realizzare ogni gruppo finito come gruppo delle isometrie di qualche superficie di Riemann compatta.

Superfici non orientabili[modifica | modifica sorgente]

Alcune superfici non orientabili hanno mapping class groups con presentazioni semplici. Per esempio, ogni omeomorfismo del piano proiettivo reale \mathbb P^2\mathbb R è isotopo all'identità:

 {\rm MCG}(\mathbb P^2\mathbb R) = 1.

Il mapping class group della bottiglia di Klein K è:

 {\rm MCG}(K)={\mathbb Z}/2{\mathbb Z}\oplus{\mathbb Z}/2{\mathbb Z}.

i quattro elementi sono l'identità, un Dehn twist attorno alla curva che non borda un nastro di Möbius (e che quindi ha due lati), lo y-omeomorfismo di Lickorish, e la composizione di questi ultimi due. Mostrare che il Dehn twist al quadrato è isotopo all'identità è un esercizio interessante.

Inoltre, la superficie chiusa compatta non orientabile di genere 3 ha:

{\rm MCG}(N_3) = {\rm GL}(2, {\mathbb Z}).

Questo perché N_3 ha un'unica curva con un lato solo (cioè, tale che un suo intorno piccolo è omeomorfo al nastro di Möbius); tagliando la superficie lungo questa, si ottiene un toro con una componente di bordo. Ciò viene discusso in un articolo di Martin Scharlemann.

3-varietà[modifica | modifica sorgente]

Anche i mapping class group delle 3-varietà sono stati molto studiati, e sono fortemente legati a quelli delle 2-varietà. Per esempio, ogni gruppo finito può essere realizzato come il mapping class group (e anche il gruppo di isometrie) di una 3-varietà iperbolica[5].

Mapping class groups di coppie[modifica | modifica sorgente]

Data una coppia di spazi (X,A), il mapping class group della coppia è costituito dalle classi di isotopia degli automorfismi della coppia, dove un automorfismo di (X,A) è definito come un automorfismo di X che preserva A: vale a dire, f : X \to X è invertibile e f(A)=A.

Gruppi di simmetria di nodi e link[modifica | modifica sorgente]

Se K\subset S^3 è un nodo o un link, il gruppo di simmetria del nodo (o link) è definito come il mapping class group cella coppia (S^3,K). È noto che il gruppo di simmetria di un nodo iperbolico è diedrale o ciclico, e che ogni gruppo diedrale o ciclico può essere realizzato come gruppo di simmetria di nodi. Il gruppo di simmetria di un nodo torico è \mathbb Z/2\mathbb Z.

Gruppo di Torelli[modifica | modifica sorgente]

Il mapping class group induce un'azione sull'omologia (e sulla coomologia) di uno spazio X: infatti la (co) omologia è funtoriale e {\rm Aut}_0 agisce banalmente (tutti i suoi elementi sono isotopi all'identità, e l'azione sulla (co) omologia è invariante per omotopia).

Il nucleo di quest'azione è il "gruppo di Torelli", indicato con {\rm Tor} (X)

Nel caso di una superficie orientabile \Sigma di genere g, l'azione di cui sopra è di fatto l'azione sul primo gruppo di omologia H^1(\Sigma)\cong \mathbb{Z}^{2g}, in quanto le applicazioni che preservano l'orientazione sono esattamente quelle che agiscono banalmente sul gruppo di coomologia più elevato H^2(\Sigma) \cong \mathbb{Z}. H^1(\Sigma) possiede una struttura simplettica, proveniente dal prodotto cup; visto che le applicazioni che stiamo considerando sono automorfismi, e preservano il prodotto cup, il mapping class group agisce tramite automorfismi simplettici; e tutti gli automorfismi simplettici vengono realizzati. Si ha quindi una successione esatta corta:

1 \to \mbox{Tor}(\Sigma) \to \mbox{MCG}(\Sigma) \to \mbox{Sp}(H^1(\Sigma)) \cong \mbox{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}) \to 1

che può essere estesa a

1 \to \mbox{Tor}(\Sigma) \to \mbox{MCG}^\pm(\Sigma) \to \mbox{Sp}^{\pm}(H^1(\Sigma)) \cong \mbox{Sp}^{\pm}_{2g}(\mathbb{Z}) \to 1

Il gruppo simplettico ha una struttura in gran parte conosciuta, dunque il problema di capire la struttura algebrica del mapping class group spesso si riconduce a problemi sul gruppo di Torelli.

Si noti che per il toro (g=1), l'applicazione verso il gruppo simplettico è un isomorfismo, e il gruppo di Torelli è nullo.

Mapping class group stabile[modifica | modifica sorgente]

La superficie orientabile \Sigma_{g,1} di genere g e a bordo connesso può essere inclusa con un embedding in \Sigma_{g+1,1} attaccando un ulteriore buco alla fine (vale a dire, incollando fra loro \Sigma_{1,1} e \Sigma_{g,2}); dunque gli automorfismi della superficie più piccola che lasciano invariati i punti del bordo si estendono alla superficie più grande. Il limite diretto dei gruppi {\rm MCG}(\Sigma_{g,1}) al variare di g è detto mapping class group stabile. L'anello di coomologia di tale gruppo[non chiaro] è stato congetturato da David Mumford. L'anello di coomologia su \mathbb Z è stato calcolato nel 2002 da Ib Madsen e Michael Weiss, provando la congettura di Mumford.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S.Morita, Characteristic classes of surface bundles, Invent. Math. 90 (1987)
  2. ^ MR0212840 (35 #3705) Earle, C. J.; Eells, J. The diffeomorphism group of a compact Riemann surface. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 557--559.
  3. ^ MR0520490 (80f:57014) Hatcher, A. E. Concordance spaces, higher simple-homotopy theory, and applications. Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1, pp. 3--21, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978. (Reviewer: Gerald A. Anderson) 57R52
  4. ^ L. Greenberg, Maximal groups and signatures, Ann. Math. Studies 79 (1974) 207--226
  5. ^ S.Kojima, Topology and its Applications Volume 29, Issue 3, August 1988, Pages 297-307

Mapping class group stabile[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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