Nastro di Möbius

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Un nastro di Möbius di carta

In matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius è un esempio di superficie non orientabile e di superficie rigata. Trae il suo nome dal matematico tedesco August Ferdinand Möbius.

Descrizione informale[modifica | modifica wikitesto]

Le superfici ordinarie, intese come le superfici che nella vita quotidiana siamo abituati ad osservare, hanno sempre due "lati" (o meglio, facce), per cui è sempre possibile percorrere idealmente uno dei due lati senza mai raggiungere il secondo, salvo attraversando una possibile linea di demarcazione costituita da uno spigolo (chiamata "bordo"): si pensi ad esempio alla sfera, al toro, o al cilindro. Per queste superfici è possibile stabilire convenzionalmente un lato "superiore" o "inferiore", oppure "interno" o "esterno".

Nel caso del nastro di Möbius, invece, tale principio viene a mancare: esiste un solo lato e un solo bordo. Dopo aver percorso un giro, ci si trova dalla parte opposta. Solo dopo averne percorsi due ci ritroviamo sul lato iniziale. Quindi per esempio si potrebbe passare da una superficie a quella "dietro" senza attraversare il nastro e senza saltare il bordo ma semplicemente camminando a lungo.

Un nastro di Möbius può essere facilmente realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione, pari a 180°. A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull'intera superficie del nastro che è quindi unica.

Essendo una superficie rigata, per ogni punto sul nastro passa almeno una retta che giace sulla superficie del nastro. Sono superfici rigate il piano, il cilindro e il cono e altre, mentre non sono superfici rigate la sfera, l'ellissoide e molte altre.

Nella costruzione, si ottiene comunque un nastro di Möbius imprimendo al lato corto n mezzi giri di torsione, con n dispari (nel nastro di Möbius "classico", n=1). Con n pari si ottiene una figura topologica diversa, questa volta orientabile, chiamata anello, equivalente ad una corona circolare.

Tagliando il nastro a metà parallelamente al bordo, si ottiene un altro nastro però con una torsione intera, due bordi e due superfici diverse, quindi orientabile. La cosa interessante è che i due bordi separati dalle forbici rimangono un solo bordo, quindi la figura viene completamente tagliata a metà, ma rimane attaccata; tagliando ancora a metà il secondo si ottengono due nastri con torsione intera uno dentro l'altro. Tagliando il nastro a un terzo della sua larghezza si possono fare due giri con le forbici e si ottengono due nastri concatenati, uno grande la metà dell'altro, dove quello piccolo è ancora un nastro di Möbius, con mezza torsione, mentre quello grande ha una torsione intera.

L'oggetto deve il suo nome al matematico August Ferdinand Möbius (1790-1868) che fu il primo a considerare la possibilità di costruzione di figure topologiche non orientabili. Il simbolo matematico ∞ di infinito non fa riferimento al nastro; la sua introduzione è attribuita al matematico inglese John Wallis (1616-1703).

Geometria[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione grafica del nastro di Möbius

Una possibile rappresentazione del nastro di Möbius è la superficie in R3 avente le seguenti equazioni parametriche (in coordinate cartesiane):

x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)
y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)
z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}

dove 0\leq u < 2\pi e -1\leq v\leq 1. In questo modo si ottiene un nastro di Möbius di larghezza 1, centrato in (0,0,0) e con il cerchio centrale giacente sul piano x-y. Variando il parametro u ci si muove lungo il nastro, mentre variando v si passa "da un bordo all'altro" (anche se in realtà è sempre lo stesso).

In coordinate cilindriche (r,θ,z), una versione infinita del nastro di Möbius è rappresentata dall'equazione:

\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

Ispirazioni[modifica | modifica wikitesto]

Possibile rappresentazione del Nastro di Möbius in un mosaico del III secolo[1].
Il simbolo internazionale del riciclaggio dei rifiuti è un esempio di Nastro di Möbius.

Il nastro di Möbius ha influenzato, nel corso degli anni, opere di vario genere.

Arte[modifica | modifica wikitesto]

L'incisore e litografo olandese Maurits Cornelis Escher, nel 1961, usa il nastro di Möbius per una sua incisione su legno, Striscia di Möbius I.[2] Di due anni più tardi è il suo Striscia di Möbius II (1963).[3] Nell'opera, una teoria di formiche cammina indefinitamente sul nastro percorrendone tutta la superficie. Nello stesso periodo in cui Möbius "inventava" la sua striscia anche un pittore francese disegnava una immagine identica[chi?], rappresentante nella sua intenzione la perfezione. Lo scultore Max Bill utilizzò il nastro di Möbius in moltissime sue opere. Lui non era a conoscenza di quest'oggetto, che infatti chiamava "nastro senza fine" (Endless Ribbon) ma lo realizzò inconsapevolmente cercando un'idea per una scultura da porre sopra un caminetto elettrico per sostituire le fiamme. Diceva dei nastri senza fine: "Sono convinto che la loro efficacia stia in parte nel loro valore simbolico; essi sono modelli per la riflessione e la contemplazione".

Letteratura[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1950 un insegnante di Harvard, Armin J. Deutsch, consigliato dall'allora suo collega Isaac Asimov, pubblica il racconto breve Una Metropolitana chiamata Moebius (A Subway named Möbius) sul numero di dicembre dello stesso anno della rivista Astounding Science-Fiction. Nel racconto un treno metropolitano di Boston, seguendo un intricato percorso, finisce paradossalmente in una striscia di Möbius, formata da binari intricati, senza più poterne uscire. Questo è l'unico racconto scritto da Deutsch.

Nastro di Moebius è anche un racconto di Julio Cortázar, presente nella raccolta "Tanto amore per Glenda".

Il nastro di moebius s'intitola anche una raccolta poetica di Luciano Erba del 1980.

Cinema[modifica | modifica wikitesto]

Nel 2013, Eric Rochant ha scritto e diretto il thriller "Möbius", con protagonista l'attore Premio Oscar, Jean Dujardin e Cécile de France, in cui viene fatto riferimento al Nastro come paradigma della spia. Sempre nel 2013 esce il film Moebius del regista coreano Kim Ki-duk, in cui i personaggi del nucleo familiare protagonista sono collegati in un tutt'uno come nel nastro.

In 2010 - L'anno del contatto di Peter Hyams del 1984 (sequel di 2001: Odissea nello spazio di Stanley Kubrick) il nastro di Möbius viene citato per descrivere l'avaria occorsa al supercomputer HAL 9000.

Nel 1996 il regista argentino Gustavo Mosquera R. fa una trasposizione cinematografica del racconto di Deutsch: Moebius. Il racconto viene adattato per il cinema da vari autori, fra cui il regista stesso, ed ambientato a Buenos Aires, in Argentina, dove il protagonista, un giovane topologo, viene incaricato di rintracciare un convoglio misteriosamente scomparso, che in virtù del progressivo aumento della complessità del tracciato, tale da renderne indescrivibile il percorso, ha infranto i limiti spazio-temporali della nostra dimensione. Il film è uscito nel 1998 in Italia.

Nel terzultimo episodio della quinta stagione di Fringe è stato citato da Donald come esempio di curvatura della linea temporale.

Il nastro di Möbius è stato anche accostato da alcuni critici, come Enrico Ghezzi[4], alla struttura di alcuni film del regista americano David Lynch. I protagonisti di Mulholland Drive e Lost Highways, in particolare, si trovano ad un certo momento del film a rivivere scene già vissute, ma con i ruoli interscambiati, proprio come se si muovessero sull'unica faccia del nastro.

Applicazioni pratiche[modifica | modifica wikitesto]

Informatica[modifica | modifica wikitesto]

In campo informatico il nastro di Möbius è stato occasionalmente utilizzato per realizzare cartucce dati ad accesso casuale contenenti nastri magnetici registrati su entrambe le facce: l'accorgimento permette di raddoppiare lo spazio di memorizzazione.

Cinematografia[modifica | modifica wikitesto]

Il principio dell'anello di Möbius è stato applicato nella filmografia per sovrapporre le immagini, per creare dissolvenze.

Meccanica[modifica | modifica wikitesto]

Le cinghie di trasmissione possono utilizzare il nastro di Möbius per distribuire l'usura sulle due facce (e quindi durare di più). Un esempio di questa applicazione è rappresentato nelle vecchie trebbiatrici, che ricevevano il moto da un trattore posto ad alcuni metri tramite una cinghia con le facce incrociate.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Parte centrale di un mosaico proveniente da Sentinum, odierna Sassoferrato nelle Marche, datato al 200-250 ed esposto alla Gliptoteca di Monaco. Rappresenta la dea Tellus circondata da quattro fanciulli (le stagioni?) ai piedi del dio dell'eternità Aion, il quale è all'impiedi dentro un nastro, interpretabile come la rappresentazione della sfera celeste, su cui sono rappresentati i segni zodiacali.
  2. ^ Moebius Strip I 1961 wood engraving and woodcut in red, green, gold and black, printed from 4 blocks
  3. ^ Moebius Strip II 1963 woodcut in red, black and grey-green, printed from 3 blocks
  4. ^ Recensione del film Mulholland Drive

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Martin Gardner, Möbius Bands in Mathematical Magic Show, 1990, pp. 123-136.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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