Base (topologia)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, una base \scriptstyle {\mathcal B} [1] per uno spazio topologico \scriptstyle X con topologia \scriptstyle {\mathcal T} è una collezione di aperti in \scriptstyle {\mathcal T} tali che ogni insieme aperto di \scriptstyle {\mathcal T} è unione (finita o infinita) di elementi di \scriptstyle {\mathcal B}. Diciamo che la base genera la topologia \scriptstyle {\mathcal T}, i cui aperti si ottengono mediante unione di elementi della base. Evidentemente due topologie con la stessa base sono identiche.

L'utilità delle basi risiede proprio nel fatto che esse sono in grado di caratterizzare tutte le proprietà topologiche dello spazio, descrivendone in maniera completa la topologia.

Proprietà delle basi[modifica | modifica sorgente]

Una base deve necessariamente godere delle seguenti tre proprietà:

  • Gli elementi della base ricoprono X (cioè, la loro unione è X).

(Essendo X aperto, deve essere ottenibile mediante unione di elementi della base. A maggior ragione coincide con l'unione di tutti gli elementi della base).

  • Dati due elementi della base, la loro intersezione è ottenibile come unione di elementi della base.

(Infatti l'intersezione di due elementi della base deve essere aperta e quindi unione di elementi della base).

Quest'ultima proprietà può essere formulata in maniera equivalente:

  • Siano B1 e B2 elementi della base e sia I la loro intersezione. Per ogni x in I c'è un altro elemento della base B3 contenente x e contenuto in I.

Le tre condizioni caratterizzano le basi, nel senso che se X è un insieme privo di struttura topologica e B una famiglia di suoi sottoinsiemi che soddisfi le tre proprietà allora B è base di una topologia per X e questa, per quanto già detto, è l'unica topologia su X ad avere B come base.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Usando le basi si possono definire agevolmente molte topologie.

  • Nell'insieme dei numeri reali \scriptstyle {\mathbb R} , gli intervalli aperti formano una base per la topologia standard.
  • Dato uno spazio metrico (X,d), la sua topologia è definita usando come base tutte le palle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio variabile.
  • La stessa topologia per lo spazio metrico (X,d) si ottiene fissando un numero positivo k>0 e prendendo solo le palle aperte centrate nei vari punti e aventi raggio minore di k.
  • La stessa topologia per lo spazio metrico (X,d) si ottiene prendendo solo le palle aperte centrate nei punti di un sottoinsieme denso di X e aventi raggio razionale minore di k.
  • Per quanto appena detto, se uno spazio metrico ha un sottoinsieme denso numerabile, allora ha una base numerabile.[2] Ad esempio, la retta, il piano e più in generale lo spazio euclideo n-dimensionale hanno una base numerabile (benché contengano una quantità di punti più che numerabile).
  • Dato un insieme X, se prendiamo come base tutti gli insiemi che constano di un punto solo e ∅ otteniamo la topologia discreta.
  • Dato un insieme X, se prendiamo come base X e ∅ otteniamo la topologia banale.
  • Possiamo definire sulla retta reale una topologia diversa da quella usuale prendendo come base l'insieme di tutte le semirette destre date da x>d, dove d è un numero reale variabile. Lo spazio che ne risulta non è di Hausdorff.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Manetti, M., op. cit., p. 39
  2. ^ Uno spazio topologico che ammette un sottoinsieme denso e numerabile è detto spazio separabile. Si può affermare quindi che ogni spazio metrico separabile ha una base numerabile.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica