Omologia singolare

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In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia.

Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l'omologia simpliciale e l'omologia cellulare. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio topologico. Come ogni omologia, l'omologia singolare è definita a partire da un complesso di catene

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0.

Il complesso di catene qui è costruito a partire dalla nozione di simplesso singolare.

Simplesso standard[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi simplesso.
Il simplesso standard di dimensione 2 è un triangolo nello spazio \R^3. I suoi vertici sono i punti che definiscono la base canonica di \R^3.

Il simplesso standard \Delta_n è l'inviluppo convesso in \R^{n+1} dei punti

e_0,\ldots, e_n

che formano la base canonica di \R^{n+1}. Per n=1,2,3 il simplesso standard è rispettivamente un segmento, un triangolo, un tetraedro. I punti e_0, e_1,\ldots, e_n sono i vertici del simplesso. Il simplesso \Delta_n ha dimensione n.

Una faccia di dimensione k di \Delta_n è l'inviluppo convesso di k+1 vertici distinti

e_{i_0},\ldots, e_{i_k}.

Tale faccia è canonicamente identificata con il simplesso standard \Delta_k: il fatto che questa identificazione sia canonica è un punto essenziale della teoria, che dipende dal fatto che i vertici del simplesso standard sono ordinati. Se i_0<\ldots <i_k, l'identificazione F è tale che

F(e_{i_j}) = e_j

e si estende per combinazione convessa a tutta la faccia.

Se la dimensione non è specificata, per faccia di \Delta_n si intende una faccia di dimensione n-1: queste giocano un ruolo importante nella costruzione dell'omologia singolare. Il simplesso \Delta_n ha quindi n+1 facce f_0,\ldots, f_n opposte ai vertici e_0,\ldots, e_n.

Simplesso singolare[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio topologico Un simplesso singolare è una mappa continua

\sigma\colon \Delta_n \to X

dal simplesso standard in X. Anche qui n è la dimensione del simplesso singolare. Il bordo i-esimo \partial_i\sigma del simplesso singolare \sigma è il simplesso singolare di dimensione n-1 seguente:

\partial_i\sigma\colon \Delta_{n-1} \to X

definito restringendo \sigma alla i-esima faccia di \Delta_n (identificata canonicamente con \Delta_{n-1}).

Complesso di catene[modifica | modifica wikitesto]

Una catena è una combinazione lineare formale di simplessi singolari (tutti della stessa dimensione n), a coefficienti interi

a_1\sigma_1 + \ldots + a_h\sigma_h.

Il numero h di elementi è variabile (purché finito) e i coefficienti a_i sono numeri interi. Una catena non è una mappa: può essere interpretata solo astrattamente, come combinazione lineare formale di oggetti. Le catene possono essere sommate in modo naturale e formano un gruppo abeliano, indicato con C_n. In altre parole, C_n è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme di tutti i simplessi singolari. Questo insieme è in generale molto grande (può avere cardinalità più che numerabile anche per spazi X molto semplici).

Per definire un complesso di catene è infine necessario introdurre una mappa di bordo

\partial\colon C_n\to C_{n-1}.

per ogni n>0. La mappa è definita su ogni simplesso singolare \sigma nel modo seguente:

\partial \sigma = \sum_{i=0}^{k}(-1)^i\partial_i\sigma.

La mappa \partial è quindi estesa per linearità a tutto C_n.

Omologia[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione descritta produce finalmente un complesso di catene

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0.

L'alternanza dei segni nella definizione di \partial ha un importante effetto: la composizione di due bordi successivi è sempre la mappa banale, cioè quella che manda ogni simplesso nello zero (lo zero in C_n è la combinazione lineare vuota). Infatti facendo due volte il bordo di un n-simplesso singolare si ottiene una catena in cui ogni (n-2)-sottosimplesso singolare compare due volte, ma con segni opposti. Vale quindi la proprietà

\partial_n\circ \partial_{n+1} = 0.

A questo punto l'omologia singolare è definita a partire da questo complesso con un procedimento standard, usato in tutte le teorie omologiche. Si definisce l'n-esimo gruppo di omologia singolare H_n(X) come il gruppo quoziente

 H_n(X) = \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1}).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]