Complesso di celle

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In topologia un complesso di celle è un tipo di spazio topologico costruito fondendo insieme certi blocchi basilari chiamati celle.

La nozione di complesso di celle è stata introdotta da J. H. C. Whitehead per sopperire ad alcune necessità della teoria dell'omotopia. Questa classe di spazi è più estesa ed ha proprietà categoriali migliori rispetto ai complessi simpliciali, ma mantiene ancora una natura combinatoria che la rende maneggevole.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una cella n-dimensionale chiusa è uno spazio topologico che è omeomorfo ad una palla chiusa n-dimensionale. Per esempio, un simplesso è una cella chiusa, e più in generale, un politopo convesso è una cella chiusa. Una cella n-dimensionale aperta è uno spazio topologico omeomorfo alla palla aperta. Una cella 0-dimensionale aperta (e chiusa) è un punto.

Informalmente, un complesso di celle è uno spazio topologico ottenuto incollando fra loro un certo numero di celle chiuse. Formalmente, un complesso di celle è uno spazio di Hausdorff X dotato di una partizione in celle aperte (di dimensioni variabili) che soddisfa due proprietà:

  • Per ogni cella n-dimensionale aperta C nella partizione di X, esiste una mappa continua f della palla n-dimensionale chiusa su X tale che
    • la restrizione di f all'interno della palla chiusa è un omeomorfismo sulla cella C, e
    • l'immagine del contorno della palla chiusa è contenuta nell'unione di un numero finito di celle aventi tutte dimensione inferiore ad n.
  • Un sottoinsieme di X è chiuso se e soltanto se incontra la chiusura di ciascuna cella in un insieme chiuso.

Il termine CW-complesso, mutuato dall'inglese, è a volte usato come sinonimo di complesso di celle. Le lettere C e W indicano i termini inglesi closure-finite e weak-topology e si riferiscono alle due proprietà elencate (la seconda proprietà infatti indica che la topologia su X è in un certo senso una topologia debole).

L' n-scheletro[modifica | modifica wikitesto]

L'n-scheletro di un complesso di celle è l'unione delle celle la cui dimensione non è superiore ad n.

Definizione induttiva[modifica | modifica wikitesto]

Un complesso di celle si può ottenere definendo l'n-scheletro induttivamente. Questo è il modo con cui di solito si ricavano i complessi di celle nella pratica.

Si comincia col prendere lo 0-scheletro, il quale è uno spazio discreto. in seguito si uniscono le 1-celle allo 0-scheletro. Per definizione, si prende una raccolta di 1-celle chiuse (astratte) e si defiscono le mappe del bordo di ciascuna 1-cella nello 0-scheletro. L'1-scheletro viene definito come lo spazio delle identità ottenuto dall'unione dello 0-scheletro e le 1-celle chiuse identificando ogni punto del bordo di una 1-cella con la sua immagine. Più in generale, dato l'n-1-scheletro di un raccolta di n-celle chiuse (astratte), si definiscono le mappe del contorno di ciascuna n-cella nell'n-1-scheletro. si defisce che l'n-scheletro è lo spazio delle identità ottenuto dall'unione dell'n-1-scheletro e le n-celle chiuse identificando ogni punto nel bordo di una n-cella con la sua immagine.

Si osservi che non è necessario che il progetto si fermi dopo un numero finito di passi. In generale, il complesso di celle X è il limite diretto degli n-scheletri nel rispetto della naturale sequenza di inclusioni. Un insieme è chiuso in X se e solo se esso incontra ogni n-scheletro in un insieme chiuso.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Molte varietà algebriche e proiettive possono essere facilmente identificate come complessi di celle. Ogni varietà topologica può essere rappresentata come un complesso di celle tramite approssimazioni di complessi di celle.

La sfera n-dimensionale è forse l'esempio più semplice. Sia x un punto nella sfera. il complementare è una n-cella aperta per  k < n il k-scheletro è {x}. La sfera è costruita mappando l'intero contorno della n-palla chiusa nell'n-1-scheletro {x}.

Un altro esempio è lo spazio proiettivo reale n-dimensionale. il k-scheletro è omeomorfo allo spazio proiettivo reale k-dimensionale. in particolare, lo spazio proiettivo reale n-dimensionale è un'unione di celle, ciascuna delle quali avente dimensione minore o uguale ad n.

Coomologia computazionale[modifica | modifica wikitesto]

C'è una teoria della coomologia associata agli spazi di celle, la coomologia della cella, duale dell'omologia cellulare. La proprietà principale è che coincide con la coomologia singolare degli spazi di celle, ma con il sovrappiù che spesso più facilmente computabile.

Per le sfere partiamo dalla seguente decomposizione in celle:

H^k(\mathbb{S}^n)=\begin{cases}
  \mathbb{Z}, \quad\text{per } k=0\text{ o }n\\
  0, \quad\text{altrimenti}.
\end{cases}

I generatori del concatenamento C^k sono (le mappe di identità delle) celle. non c'è relazione fra questi generatori, poiché la mappa annessa è semplice.

Per \mathbb{P}^n\mathbb{C} noi prendiamo in modo simile

H^k(\mathbb{P}^n\mathbb{C}) = \begin{cases}
  \mathbb{Z} \quad\text{per } 0\le k\le 2n,\text{pari}\\
  0  \quad\text{altrimenti}.
\end{cases}

Questo caso è più semplice dell'analogo reale, poiché le relazioni fra i generatori arriverebbero dal differenziale \mathrm{d}: C^k(\ldots) \to C^{k+1}(\ldots), ma per il caso complesso uno di questi 2 spazi sparisce sempre, perciò il differenziale è ancora semplice.

La categoria dell'omotopia[modifica | modifica wikitesto]

La categoria dell'omotopia di un complesso di celle è, per opinione di alcuni esperti, la migliore se non l'unica candidata per essere La categoria dell'omotopia. Le costruzioni ausiliarie che portano a spazi che non sono complessi di celle devono essere usati per l'occasione, ma garantiscono abbastanza bene i settanta anni da quando Whitehead ha stabilito questa definizione di questa categoria di omotopia. Un risultato basilare è che i fungitori rappresentativi della categoria di omologia hanno una semplice caratterizzazione (il teorema di rappresentabilità di Brown).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Il prodotto di due complessi di celle è un complesso di celle. la topologia debole di questo prodotto X×Y è la stessa della più famigliare topologia prodotto nella maggioranza degli spazi di interesse. ma può esserci una comparazione di topologie se X×Y ha un'infinità non numerabile di celle e né X e né Y è uno spazio localmente compatto.

Riferimenti[modifica | modifica wikitesto]

  • J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 213–245
  • J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 453–496
  • Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0. Questo libro di testo definisce i complessi di celle nel primo capitolo e li usa nel resto; include un'appendice sulla topologia dei complessi di celle. Versione elettronica libera è visitabile su author's homepage.