Insieme di generatori

In matematica, e più precisamente in algebra, un sottoinsieme $S$ di un insieme $A$ dotato di una struttura algebrica è un insieme di generatori per $A$ se tutti gli elementi di $A$ possono essere ottenuti dagli elementi di $S$ tramite combinazioni di operazioni definite su $A$.

Più in generale, se $S$ è un sottoinsieme di $A$, l'insieme $\langle S \rangle$ generato da $S$ è il più piccolo sottoinsieme di $A$ chiuso rispetto alle operazioni definite su $A$

Nei casi più frequenti, $A$ è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale. Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita.

Gruppi

Sia $G$ un gruppo e $S$ un sottoinsieme di $G$. Il sottogruppo $\langle S \rangle$ generato da $S$ è il più piccolo sottogruppo di $G$ che contiene $S$. Se $S$ è l'insieme vuoto, $\langle S \rangle$ è dunque il sottogruppo banale $\{e\}$. Se $S$ non è vuoto, allora $\langle S \rangle$ consiste di tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di $S$ e dei loro inversi.

Gruppo ciclico

Per approfondire, vedi la voce gruppo ciclico.

Quando $S = \{ x \}$ ha un solo elemento $x$, allora si abbrevia $\langle S \rangle = \langle x \rangle$. In questo caso $\langle x \rangle = \{ x^i : i \in \mathbf{Z} \}$ è il sottogruppo ciclico formato da tutte le potenze di $x$.

In generale, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.

Gruppo finitamente generato

Un gruppo $G$ è finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Elenchiamo alcuni esempi e proprietà dei gruppi finitamente generati.

• Ogni gruppo finito $G$ è finitamente generato, poiché $G$ stesso è un insieme di generatori.
• Gli interi formano un gruppo finitamente generato, ma non finito.
• I numeri razionali formano un gruppo che non è finitamente generato.
• Il prodotto diretto di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
• Un quoziente di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.

Spazi vettoriali

Per approfondire, vedi la voce span lineare.

Sia $V$ uno spazio vettoriale e $S$ un sottoinsieme. Il sottospazio vettoriale generato da $S$ è chiamato span lineare, ed è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente $S$. La minima cardinalità di un insieme $S$ di generatori per $V$ è la dimensione di $V$.

Anelli

Sia $R$ un anello e $S$ un suo sottoinsieme. Il sottoanello $\langle S \rangle$ generato da $S$ è il più piccolo sottoanello di $R$ che contiene gli elementi di $S$. Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di $S$ e dei loro opposti.

Voci correlate

• Gruppo
• Sottogruppo normale
• Base

Collegamenti esterni

• (EN) Mathworld: generatori di un gruppo

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