Insieme di generatori

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In matematica, e più precisamente in algebra, un sottoinsieme  S di un insieme  A dotato di una struttura algebrica è un insieme di generatori per  A se tutti gli elementi di  A possono essere ottenuti dagli elementi di  S tramite combinazioni di operazioni definite su  A .

Più in generale, se  S è un sottoinsieme di  A , l'insieme  \langle S \rangle generato da  S è il più piccolo sottoinsieme di  A chiuso rispetto alle operazioni definite su  A contenente  S

Nei casi più frequenti,  A è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale. Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita.

Gruppi[modifica | modifica sorgente]

Sia  G un gruppo e  S un sottoinsieme di  G . Il sottogruppo \langle S \rangle generato da  S è il più piccolo sottogruppo di  G che contiene S. Se S è l'insieme vuoto, \langle S \rangle è dunque il sottogruppo banale  \{e\} . Se S non è vuoto, allora \langle S \rangle consiste di tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di  S e dei loro inversi.

Gruppo ciclico[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi gruppo ciclico.

Quando S = \{ x \} ha un solo elemento x, allora si abbrevia \langle S \rangle = \langle x \rangle. In questo caso \langle x \rangle = \{ x^i : i \in \mathbf{Z} \} è il sottogruppo ciclico formato da tutte le potenze di x.

In generale, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.

Gruppo finitamente generato[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo  G è finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Elenchiamo alcuni esempi e proprietà dei gruppi finitamente generati.

  • Ogni gruppo finito  G è finitamente generato, poiché  G stesso è un insieme di generatori.
  • Gli interi formano un gruppo finitamente generato, ma non finito.
  • I numeri razionali formano un gruppo che non è finitamente generato.
  • Il prodotto diretto di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
  • Un quoziente di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.

Spazi vettoriali[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi span lineare.

Sia  V uno spazio vettoriale e  S un sottoinsieme. Il sottospazio vettoriale generato da  S è chiamato span lineare, ed è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente  S . La minima cardinalità di un insieme  S di generatori per  V è la dimensione di  V .

Anelli[modifica | modifica sorgente]

Sia R un anello e S un suo sottoinsieme. Il sottoanello \langle S \rangle generato da S è il più piccolo sottoanello di R che contiene gli elementi di S. Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di S e dei loro opposti.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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