Insieme di generatori

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In algebra lineare, un sottoinsieme  S di un insieme  A dotato di una struttura algebrica è un insieme di generatori per  A se tutti gli elementi di  A possono essere ottenuti dagli elementi di  S tramite combinazioni di operazioni definite su  A .

Più in generale, se  S è un sottoinsieme di  A , l'insieme  \langle S \rangle generato da  S è il più piccolo sottoinsieme di  A chiuso rispetto alle operazioni definite su  A contenente  S

Nei casi più frequenti,  A è un gruppo, un anello o uno spazio vettoriale.

Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i gruppi finitamente generati e gli spazi vettoriali di dimensione finita.

Gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Sia  G un gruppo e  S un sottoinsieme di  G . Il sottogruppo \langle S \rangle generato da  S è il più piccolo sottogruppo di  G che contiene S. Se S è l'insieme vuoto, \langle S \rangle è dunque il sottogruppo banale  \{e\} . Se S non è vuoto, allora \langle S \rangle consiste di tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di  S e dei loro inversi.

Gruppo ciclico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi gruppo ciclico.

Quando S = \{ x \} ha un solo elemento x, allora si abbrevia \langle S \rangle = \langle x \rangle. In questo caso \langle x \rangle = \{ x^i : i \in \mathbf{Z} \} è il sottogruppo ciclico formato da tutte le potenze di x.

In generale, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.

Gruppo finitamente generato[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo  G è finitamente generato se ha un insieme finito di generatori. Elenchiamo alcuni esempi e proprietà dei gruppi finitamente generati.

  • Ogni gruppo finito  G è finitamente generato, poiché  G stesso è un insieme di generatori.
  • Gli interi formano un gruppo finitamente generato, ma non finito.
  • I numeri razionali formano un gruppo che non è finitamente generato.
  • Il prodotto diretto di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
  • Un quoziente di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.

Anelli[modifica | modifica wikitesto]

Sia R un anello e S un suo sottoinsieme. Il sottoanello \langle S \rangle generato da S è il più piccolo sottoanello di R che contiene gli elementi di S. Esso è costituito da tutte le combinazioni di somme e prodotti degli elementi di S e dei loro opposti.

Spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Copertura lineare.

Sia  V uno spazio vettoriale definito su un campo  K . Si dice sistema di generatori G di  V un qualsiasi insieme di vettori siffatto:

G = \{v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \; | \; a_1, ... , a_n \in K , \forall v \in V  \} .

Come si vede dalla definizione, si tratta di un insieme di vettori che permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio vettoriale V mediante combinazione lineare dei suoi elementi. Se ne possono immediatamente dedurre alcune proprietà:

  • Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è certamente un suo sottospazio.
  • Per ogni spazio vettoriale non vuoto, esistono infiniti sistemi generatori.
  • La base di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori; al contrario, un sistema di generatori non è necessariamente una base.
  • La minima cardinalità di un insieme  S di generatori per  V è la dimensione di  V .

Un'altra definizione relativa allo spazio vettoriale può essere data facendo uso dell'operatore Span (copertura lineare)[1]:

un insieme di vettori G = \{v_1, ... , v_n\} è un sistema di generatori per uno spazio vettoriale V se V = Span (v_1, ... , v_n) .

Riferimenti e bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marco Abate, Geometria, Milano, McGraw-Hill, 1996, pp. 31, 76.
  • (EN) Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, New York, Springer-Verlag, 1980, ISBN 0-387-09212-9.
  • (EN) Arfken, G. "Generators." §4.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 261-267, 1985.
  • Marco Abate, Geometria, Milano, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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