Simplesso

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Il tetraedro, un simplesso 3-dimensionale.

In matematica, il simplesso n-dimensionale è il politopo n-dimensionale col minor numero di vertici. Il simplesso di dimensione zero è un singolo punto, il simplesso bidimensionale un triangolo e quello tridimensionale un tetraedro. Il simplesso n-dimensionale ha n + 1 vertici. Come tutti i politopi, il simplesso ha facce di ogni dimensione: queste sono tutte a loro volta simplessi. Per la sua semplicità, il simplesso è generalmente ritenuto il "blocco base" con cui costruire spazi n-dimensionali più complicati tramite un processo detto triangolazione.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

L'ipervolume di un simplesso n-dimensionale di lato l è:

l^n \cdot {\frac{\sqrt{n+1}}{n!\sqrt{2^n}}}[1]

L'angolo diedrale di un simplesso n-dimensionale è arccos(1/n)[2][3], e l'angolo che il centro del simplesso forma con due suoi vertici è arccos(-1/n)[3].

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una definizione matematica rigorosa di simplesso si basa sulle nozioni di inviluppo convesso e di punti in posizione generale.

In uno spazio vettoriale,  n + 1 punti  x_1,\ldots, x_{n+1} sono in posizione generale se i vettori

 x_2-x_1,x_3-x_1,\ldots,x_{n+1}-x_1

sono linearmente indipendenti. Analogamente, sono in posizione generale se il più piccolo sottospazio affine che li contiene ha dimensione  n .

Un simplesso n-dimensionale è l'inviluppo convesso di  n+1 punti  x_1,\ldots,x_{n+1} in posizione generale in uno spazio euclideo  \R^m . Gli  n+1 punti sono i vertici del simplesso, che è spesso indicato con

 [x_1,\ldots,x_{n+1}]

Lo spazio euclideo ha necessariamente dimensione  m \geqslant n .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Un simplesso 1-dimensionale è l'inviluppo di due punti, ovvero un segmento.
  • Un simplesso 2-dimensionale è l'inviluppo di tre punti non allineati, ovvero un triangolo.
  • Un simplesso 3-dimensionale è l'inviluppo di quattro punti non complanari, ovvero un tetraedro.
  • Un simplesso 4-dimensionale ha 5 vertici ed è chiamato ipertetraedro.

Facce di un simplesso[modifica | modifica wikitesto]

Se x_1,\ldots,x_{n+1} sono in posizione generale, anche  k+1 di questi punti, presi in modo arbitrario (con  k<n ) sono in posizione generale; il simplesso k -dimensionale da essi generato è chiamato faccia  k -dimensionale dell'originario simplesso  n -dimensionale. In particolare, i vertici sono le 0-facce del simplesso.

Ad esempio, tra i 4 vertici di un tetraedro si possono individuare 4 diversi sottoinsiemi composti da 3 vertici ciascuno, corrispondenti a 4 facce triangolari.

In generale, il numero di  k -facce in un simplesso  n -dimensionale è pari al coefficiente binomiale \begin{pmatrix}
n + 1\\
k + 1\\
\end{pmatrix}, cioè al numero di sottoinsiemi di  k + 1 elementi di un insieme di  n + 1 elementi.

Il simplesso standard[modifica | modifica wikitesto]

Il simplesso standard bidimensionale.

Il simplesso standard \Delta^n di dimensione  n è l'inviluppo convesso

 [e_1,\ldots,e_{n+1}]

della base canonica e_1,\ldots,e_{n+1} di \R^{n+1} . In altre parole,

\Delta^n=\{(x_1,\ldots ,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}:\sum_{i=1}^{n+1} x_i= 1, \ x_i\geq 0\, \forall i\}.

Le xi sono chiamate coordinate baricentriche di un punto nel simplesso.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Paul Stein, A Note on the Volume of a Simplex in The American Mathematical Monthly, vol. 73, nº 3, 1966, pp. 299-301.
  2. ^ Harold R. Parks, Dean C. Wills, An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n-Simplex in The American Mathematical Monthly, vol. 109, nº 8, ottobre 2002, pp. 756-758.
  3. ^ a b Raffaele Salvia, Basic geometric proof of the relation between dimensionality of a regular simplex and its dihedral angle, 2013.
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