Simplesso

Il tetraedro, un simplesso 3-dimensionale.

In matematica, il simplesso n-dimensionale è il politopo n-dimensionale col minor numero di vertici. Il simplesso di dimensione zero è un singolo punto, il simplesso bidimensionale un triangolo e quello tridimensionale un tetraedro. Il simplesso n-dimensionale ha n + 1 vertici. Come tutti i politopi, il simplesso ha facce di ogni dimensione: queste sono tutte a loro volta simplessi. Per la sua semplicità, il simplesso è generalmente ritenuto il "blocco base" con cui costruire spazi $n$-dimensionali più complicati tramite un processo detto triangolazione.

Proprietà

L'ipervolume di un simplesso n-dimensionale di lato l è:

$l^n \cdot {\frac{\sqrt{n+1}}{n!\sqrt{2^n}}}$

L'angolo diedrale di un simplesso n-dimensionale è arccos(1/n), e l'angolo che il centro del simplesso forma con due suoi vertici è arccos(-1/n).

Definizione

Una definizione matematica rigorosa di simplesso si basa sulle nozioni di inviluppo convesso e di punti in posizione generale.

In uno spazio vettoriale, $n + 1$ punti $x_1,\ldots, x_{n+1}$ sono in posizione generale se i vettori

$x_2-x_1,x_3-x_1,\ldots,x_{n+1}-x_1$

sono linearmente indipendenti. Analogamente, sono in posizione generale se il più piccolo sottospazio affine che li contiene ha dimensione $n$.

Un simplesso n-dimensionale è l'inviluppo convesso di $n+1$ punti $x_1,\ldots,x_{n+1}$ in posizione generale in uno spazio euclideo $\R^m$. Gli $n+1$ punti sono i vertici del simplesso, che è spesso indicato con

$[x_1,\ldots,x_{n+1}]$

Lo spazio euclideo ha necessariamente dimensione $m \geqslant n$.

Esempi

• Un simplesso 1-dimensionale è l'inviluppo di due punti, ovvero un segmento.
• Un simplesso 2-dimensionale è l'inviluppo di tre punti non allineati, ovvero un triangolo.
• Un simplesso 3-dimensionale è l'inviluppo di quattro punti non complanari, ovvero un tetraedro.
• Un simplesso 4-dimensionale ha 5 vertici ed è chiamato ipertetraedro.

Facce di un simplesso

Se $x_1,\ldots,x_{n+1}$ sono in posizione generale, anche $k+1$ di questi punti, presi in modo arbitrario (con $k<n$) sono in posizione generale; il simplesso $k$-dimensionale da essi generato è chiamato faccia $k$-dimensionale dell'originario simplesso $n$-dimensionale. In particolare, i vertici sono le 0-facce del simplesso.

Ad esempio, tra i 4 vertici di un tetraedro si possono individuare 4 diversi sottoinsiemi composti da 3 vertici ciascuno, corrispondenti a 4 facce triangolari.

In generale, il numero di $k$-facce in un simplesso $n$-dimensionale è pari al coefficiente binomiale $\begin{pmatrix} n + 1\\ k + 1\\ \end{pmatrix}$, cioè al numero di sottoinsiemi di $k + 1$ elementi di un insieme di $n + 1$ elementi.

Il simplesso standard

Il simplesso standard bidimensionale.

Il simplesso standard $\Delta^n$ di dimensione $n$ è l'inviluppo convesso

$[e_1,\ldots,e_{n+1}]$

della base canonica $e_1,\ldots,e_{n+1}$ di $\R^{n+1}$. In altre parole,

$\Delta^n=\{(x_1,\ldots ,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}:\sum_{i=1}^{n+1} x_i= 1, \ x_i\geq 0\, \forall i\}.$

Le x_i sono chiamate coordinate baricentriche di un punto nel simplesso.

Voci correlate

• Calcolo di Regge
• Coordinate baricentriche
• Metodo del simplesso
• Diagramma ternario

Note

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