Ipertetraedro

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Ipertetraedro
Schlegel wireframe 5-cell.png
Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo Policoro regolare
Forma celle Tetraedri regolari
Nº celle 5 tetraedri regolari
Nº facce 10 triangoli equilateri
Nº spigoli 10
Nº vertici 5
Cuspidi dei vertici 5-cell verf.png
(tetraedro regolare)
Simbolo di Schläfli {33}
Duale ipertetraedro (è autoduale)
Proprietà convesso, regolare,
simplesso

In geometria quadridimensionale, l'ipertetraedro (detto anche 5-cella, pentacoro o 4-simplesso) è uno dei sei policori regolari. È il policoro regolare più semplice, la naturale estensione in dimensione 4 del triangolo (bidimensionale) e del tetraedro (tridimensionale).

L'ipertetraedro regolare è delimitato da tetraedri regolari, ed è uno dei sei politopi regolari, rappresentato dal simbolo di Schläfli {3,3,3}.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

Da un punto di vista matematico, un ipertetraedro è l'inviluppo convesso di 5 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale \R^4 che siano in posizione generale (cioè che non siano contenuti in un sottospazio affine). Ad esempio, si possono prendere i punti

P_0 = (0,0,0,0), P_1 = (1,0,0,0), P_2 = (0,1,0,0), P_3 = (0,0,1,0), P_4 = (0,0,0,1)

L'inviluppo convesso è quindi l'insieme seguente:

\big\{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \ |\ x_1,x_2,x_3,x_4\geqslant 0, x_1+x_2+x_3+x_4 \leqslant 1\big\}

Facce[modifica | modifica sorgente]

Come tutti i politopi, l'ipertetraedro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

  • Il pentacoro ha 5 vertici P_0,P_1,P_2,P_3,P_4.
  • Ciascuna coppia di vertici è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 10 spigoli.
  • Ciascuna tripletta di vertici determina una faccia: ci sono quindi 10 facce (triangolari).
  • Ciascuna 4-upla di vertici determina una 3-faccia: ci sono quindi 5 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 4 spigoli, 6 facce e 4 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

Proiezioni[modifica | modifica sorgente]

Una proiezione dell'ipertetraedro nello spazio. Ci sono 5 vertici: ogni coppia di vertici è collegata da uno spigolo, ogni terna di vertici determina un triangolo, ogni quaterna determina una cella: celle e triangoli si sovrappongono nella proiezione.
In questa animazione è mostrata una proiezione nello spazio di un ipertetraedro che sta ruotando nello spazio 4-dimensionale \R^4. La rotazione è una rotazione simultanea su due piani ortogonali.

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo \R^4).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un ipertetraedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

Sviluppo[modifica | modifica sorgente]

Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 5 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

Uno sviluppo del pentacoro

Dualità[modifica | modifica sorgente]

L'ipertetraedro è autoduale, come tutti i simplessi.

Relazione di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

V + F = S + C.

In questo caso 5 + 10 = 10 + 5.

Modello[modifica | modifica sorgente]

Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l’involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l’involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell’una o nell’altra versione.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.
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